Algebarski izrazi

Kvadrat i kub binoma, razlika kvadrata, zbir i razlika kubova

Pregled svih formula

NazivFormula
Kvadrat zbira(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Kvadrat razlike(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Razlika kvadrataa2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Zbir kubovaa3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Razlika kubovaa3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Kub zbira(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Kub razlike(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Kvadrat trinoma(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Sadržaj

  1. Kvadrat zbira
  2. Kvadrat razlike
  3. Razlika kvadrata
  4. Zbir kvadrata
  5. Zbir kubova
  6. Razlika kubova
  7. Kub zbira (kub binoma)
  8. Kub razlike
  9. Kvadrat trinoma

1. Kvadrat zbira

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Kada se koristi: kada kvadriraš zbir dva člana, ili kada u trinomu prepoznaš dva kvadrata i njihov dvostruki proizvod između njih.

Kvadrirati (2x+3)2(2x + 3)^2:

(2x+3)2=(2x)2+2⋅2x⋅3+32=4x2+12x+9(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9

Rastaviti x2+10x+25x^2 + 10x + 25:

x2+10x+25=x2+2⋅x⋅5+52=(x+5)2x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2

Najčešća greška je (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2. Srednji član 2ab2ab se ne sme izostaviti.

2. Kvadrat razlike

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Kada se koristi: isto kao kvadrat zbira, samo je srednji član negativan. Poslednji član je uvek pozitivan, jer je (−b)2=b2(-b)^2 = b^2.

Kvadrirati (3x−4)2(3x - 4)^2:

(3x−4)2=(3x)2−2⋅3x⋅4+42=9x2−24x+16(3x - 4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 - 24x + 16

Rastaviti 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9:

4x2−12x+9=(2x)2−2⋅2x⋅3+32=(2x−3)24x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2

Važi (a−b)2=(b−a)2(a - b)^2 = (b - a)^2, pa redosled članova u zagradi ne menja rezultat.

3. Razlika kvadrata

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Kada se koristi: kada imaš dva kvadrata između kojih je minus. To je najčešći način rastavljanja binoma na činioce, a koristi se i za skraćivanje razlomaka i racionalisanje imenioca.

Rastaviti x2−49x^2 - 49:

x2−49=x2−72=(x−7)(x+7)x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)

Rastaviti 9x2−16y29x^2 - 16y^2:

9x2−16y2=(3x)2−(4y)2=(3x−4y)(3x+4y)9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2 = (3x - 4y)(3x + 4y)

Izračunati 98⋅10298 \cdot 102 bez digitrona:

98⋅102=(100−2)(100+2)=1002−22=999698 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 9996

4. Zbir kvadrata

Zbir kvadrata a2+b2a^2 + b^2 ne može se rastaviti na činioce u skupu realnih brojeva. Ne postoji formula oblika (a+b)(…)(a + b)(\ldots) za njega.

Ono što se često koristi jeste veza sa kvadratom zbira:

a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab

Kada se koristi: kada znaš zbir i proizvod dva broja, a treba ti zbir njihovih kvadrata. Tipično u zadacima sa Vijetovim formulama.

Ako je a+b=5a + b = 5 i ab=6ab = 6, odrediti a2+b2a^2 + b^2:

a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2⋅6=13a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \cdot 6 = 13

5. Zbir kubova

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Kada se koristi: kada rastavljaš zbir dva kuba, na primer x3+8x^3 + 8 ili 27x3+127x^3 + 1. Prvo oba člana zapiši kao kubove, pa primeni formulu.

Rastaviti x3+8x^3 + 8:

x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2x+4)x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Rastaviti 27x3+127x^3 + 1:

27x3+1=(3x)3+13=(3x+1)(9x2−3x+1)27x^3 + 1 = (3x)^3 + 1^3 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)

Znak u prvoj zagradi je isti kao znak između kubova. Znak srednjeg člana u drugoj zagradi je suprotan. Srednji član je abab, a ne 2ab2ab, pa se druga zagrada ne može dalje rastaviti.

6. Razlika kubova

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Kada se koristi: kada rastavljaš razliku dva kuba, na primer x3−27x^3 - 27 ili 8x3−1258x^3 - 125. Često se pojavljuje pri skraćivanju razlomaka i računanju graničnih vrednosti.

Rastaviti x3−27x^3 - 27:

x3−27=x3−33=(x−3)(x2+3x+9)x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)

Rastaviti 8x3−1258x^3 - 125:

8x3−125=(2x)3−53=(2x−5)(4x2+10x+25)8x^3 - 125 = (2x)^3 - 5^3 = (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25)

7. Kub zbira (kub binoma)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Kada se koristi: kada stepenuješ zbir na treći stepen, ili kada u izrazu sa četiri člana prepoznaš kub binoma.

Izračunati (x+2)3(x + 2)^3:

(x+2)3=x3+3⋅x2⋅2+3⋅x⋅22+23=x3+6x2+12x+8(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Rastaviti x3+9x2+27x+27x^3 + 9x^2 + 27x + 27:

x3+9x2+27x+27=x3+3⋅x2⋅3+3⋅x⋅32+33=(x+3)3x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = (x + 3)^3

Kub zbira i zbir kubova nisu isto: (a+b)3≠a3+b3(a + b)^3 \neq a^3 + b^3. Veza između njih je

a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)

Na primer, ako je a+b=4a + b = 4 i ab=3ab = 3, onda je a3+b3=43−3⋅3⋅4=28a^3 + b^3 = 4^3 - 3 \cdot 3 \cdot 4 = 28.

8. Kub razlike

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Kada se koristi: kao kub zbira, samo se znaci smenjuju: plus, minus, plus, minus.

Izračunati (2x−1)3(2x - 1)^3:

(2x−1)3=(2x)3−3⋅(2x)2⋅1+3⋅2x⋅12−13=8x3−12x2+6x−1(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1

Rastaviti x3−6x2+12x−8x^3 - 6x^2 + 12x - 8:

x3−6x2+12x−8=x3−3⋅x2⋅2+3⋅x⋅22−23=(x−2)3x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = (x - 2)^3

9. Kvadrat trinoma

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Kada se koristi: kada kvadriraš zbir tri člana. Rezultat čine kvadrati sva tri člana i dvostruki proizvodi svakog para.

Kvadrirati (x+2y+3)2(x + 2y + 3)^2:

(x+2y+3)2=x2+4y2+9+4xy+6x+12y(x + 2y + 3)^2 = x^2 + 4y^2 + 9 + 4xy + 6x + 12y

Spreman/na za vežbu?

29 zadataka te čeka