Kvadratna funkcija

Kvadratna jednačina

Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

Kvadratna jednačina sa apsolutnim vrednostima

Kvadratna nejednačina sa apsolutnim vrednostima

Kvadratna nejednačina

Iracionalna jednačina

Iracionalna nejednačina

Sistem jednačina

Vietove formule

Zadaci iz oblasti: Kvadratna jednačina

23 zadataka

ZadatakPoslednja izmenaStatus

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Kvadratna jednačina

Prijavi se za praćenje napretka

Vietove formule - uvod

Vietove formule, ili Vietova pravila, predstavljaju vezu između korena (rešenja) polinoma i njegovih koeficijenata.

One nam omogućavaju da odredimo zbir i proizvod rešenja bez direktnog rešavanja jednačine.

Najčešće se koriste kod kvadratnih jednačina, ali važe za polinome bilo kog stepena.

Kvadratna jednačina

Standardni oblik kvadratne jednačine je:

$ax^2+bx+c=0$

Ako su $x_1$ i $x_2$ rešenja ove jednačine, tada važe sledeće jednakosti:

Zbir rešenja:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Proizvod rešenja:

$x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$

Svedena kvadratna jednačina

Ako je $a=1$ , jednačina ima oblik:

$x^2+bx+c=0$

Tada su formule jednostavnije:

$x_1+x_2=-b$ $x_1 \cdot x_2=c$

Primer

Posmatrajmo jednačinu:

$x^2-5x+6=0$

Ovde je:

$a=1$ $b=-5$ $c=6$

Primenom Vietovih formula se dobija:

$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$

$x_1 \cdot x_2=\frac{6}{1}=6$

Tražimo dva broja čiji je zbir $5$ , a proizvod $6$ . To su brojevi $2$ i $3$ .

Kubna jednačina

Standardni oblik kubne jednačine je:

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

Ako su rešenja $x_1$ , $x_2$ i $x_3$ , tada važi:

Zbir svih rešenja:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

Zbir proizvoda po dva rešenja:

$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$

Proizvod svih rešenja:

$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=-\frac{d}{a}$

Dokaz Vietovih formula za kvadratnu jednačinu

Pretpostavimo da su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine.

To znači da se polinom može zapisati kao proizvod dve zagrade:

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

Množenje zagrada

Primenićemo pravilo množenja, svaki član iz prve zagrade množimo sa svakim članom iz druge.

$x \cdot x = x^2$
$x \cdot (-x_2) = -x_2x$
$(-x_1) \cdot x = -x_1x$
$(-x_1) \cdot (-x_2) = x_1x_2$

Sada sve sabiramo:

$x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2 = 0$

Sređivanje izraza

Srednje članove možemo spojiti:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Dobijamo polinom oblika:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Poređenje sa opštim oblikom

Opšti oblik svedene kvadratne jednačine je:

$x^2 + px + q = 0$

Upoređivanjem koeficijenata dobijamo:

$p = -(x_1 + x_2)$ $q = x_1x_2$

Odnosno:

$x_1 + x_2 = -p$ $x_1x_2 = q$

Ako je jednačina u opštem obliku:

$ax^2 + bx + c = 0$

onda deljenjem cele jednačine sa $a$ dobijamo:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Pa važi:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Čemu služe Vietove formule

Provera rešenja

Kada rešimo kvadratnu jednačinu pomoću formule za diskriminantu, možemo proveriti tačnost rešenja tako što izračunamo njihov zbir i proizvod. Ako se ne poklapaju sa vrednostima $-\frac{b}{a}$ i $\frac{c}{a}$ , došlo je do greške.

Sastavljanje jednačine

Ako su poznata rešenja, lako možemo napisati jednačinu.

Na primer, ako su rešenja $4$ i $-2$ :

Zbir je $2$ Proizvod je $-8$

Jednačina je:

$x^2-2x-8=0$

Zadaci sa parametrima

U zadacima gde se traži vrednost parametra tako da rešenja zadovoljavaju određeni uslov, Vietove formule znatno pojednostavljuju postupak.

Na primer, ako je uslov:

$x_1+x_2=2x_1x_2$

Zamenimo izraze iz Vietovih formula:

$-\frac{b}{a}=2\cdot\frac{c}{a}$

Dalje samo rešavamo jednačinu.

Vietove formule su moćan alat jer nam omogućavaju da radimo sa korenima jednačine bez njihovog eksplicitnog nalaženja.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti