Recipročna jednačina petog stepena: koren x = −1

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2x^5+5x^4-13x^3-13x^2+5x+2=0

REŠENJE ZADATKA

Podeliti polinom $2x^5+5x^4-13x^3-13x^2+5x+2$ sa $x+1$ kako bi se dobila jednačina sa parnim stepenom:

(x+1)(2x^4+3x^3-16x^2+3x+2)=0

Podeliti jednačinu sa $x^2, \ x\not=0.$

(x+1)(2x^2+3x-16+\frac3x+\frac2{x^2})=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrada:

(x+1)\bigg(2\big(x^2+\frac1{x^2}\big)+3\big(x+\frac1x\big)-16\bigg)=0

Jednačina ima dva rešenja:

x+1=0 \quad\lor\quad 2\big(x^2+\frac1{x^2}\big)+3\big(x+\frac1x\big)-16=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=-1

Uvesti smenu $x+\frac 1x=t$ kako bi se dobilo rešenje druge jednačine.

2t^2+3t-20=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=3$ i $c=-20$

t_{1,2}=\frac {-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-20)}} {2\cdot2} \implies t_1=\frac 52, \quad t_2=-4

Vratiti smenu $x+\frac 1x=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

x+\frac 1x=\frac 52 \quad\lor\quad x+\frac 1x=-4

Rešavanjem jednačina dobija se rešenje druge jednačine:

x=2 \quad\lor\quad x=\frac 12 \quad\lor\quad x=-2+\sqrt3 \quad\lor\quad x=-2-\sqrt3

Konačno rešenje:

x=-1 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=\frac 12 \quad\lor\quad x=-2+\sqrt3 \quad\lor\quad x=-2-\sqrt3

$2x^5+5x^4-13x^3-13x^2+5x+2=0$