Sistem: zbir kvadrata 8 i zbir recipročnih 1/2

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2+y^2=8 \\ \frac1 {x^2}+\frac 1{y^2}=\frac12

REŠENJE ZADATKA

Srediti drugu jednačinu.

\frac1 {x^2}+\frac 1{y^2}=\frac12 \\ \frac{y^2} {x^2y^2}+\frac {x^2}{x^2y^2}=\frac12 \\ \frac{y^2+x^2}{x^2y^2}=\frac12 \\ 2(x^2+y^2)=x^2y^2

Nakon sređivanja, sistem jednačina postaje:

x^2+y^2=8 \\ 2(x^2+y^2)=x^2y^2

Pomnožiti prvu jednačinu sa $2.$

2(x^2+y^2)=16 \\ 2(x^2+y^2)=x^2y^2

Oduzeti jednačine:

2(x^2+y^2)-2(x^2+y^2)=16-x^2y^2 \\ 16-x^2y^2=0 \\ x^2y^2=16

Tada sistem postaje:

x^2+y^2=8 \\ x^2y^2=16

Izraziti $x^2$ iz prve jednačine.

x^2+y^2=8 \implies x^2=8-y^2

Uvrstiti $x^2=8-y^2$ u drugu jednačinu.

(8-y^2)y^2=16 \\ 8y^2-y^4=16 \\ y^4-8y^2+16=0

Uvesti smenu $y^2=t.$

t^2-8t+16=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-8$ i $c=16$

t_{1,2} = \frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot16}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{8\pm0}{2}\\ t_{1,2}=4

Vraćanjem smene $y^2=t$ dobijaju se rešenja za $y.$

y_1=2 \quad\lor\quad y_2=-2

Uvrstiti $y_1=2$ i $y_2=-2$ u jednačinu $x^2=8-y^2.$

x^2=8-2^2=8-4=4 \implies x_{1,2}=\pm2 \\ x^2=8-(-2)^2=8-4=4 \implies x_{3,4}=\pm2

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

(2,2) , \ (2,-2), \ (-2,2) \ \text{i} \ (-2,-2)

$x^2+y^2=8, \ \frac1 {x^2}+\frac 1{y^2}=\frac12$