Sistem sa smenom x − y i proizvodom xy = 28

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

(x-y)^2+4(x-y)=21 \\ xy=28

REŠENJE ZADATKA

U prvu jednačinu uvesti smenu $x-y=t.$

t^2+4t=21 \\ t^2+4t-21=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=4$ i $c=-21$

t_{1,2} = \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-21)}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{-4\pm10}{2}\\ t_1=3 \quad \lor \quad t_2=-7

Za $t_1=x-y=3$ dobija se prvi sistem jednačina:

x-y=3 \\ xy=28

Za $t_2=x-y=-7$ dobija se drugi sistem jednačina:

x-y=-7 \\ xy=28

Rešenja prvog sistema su uređeni parovi:

(7,4), \ (-4,-7)

Rešenja drugog sistema su uređeni parovi:

\bigg(\frac{-7+\sqrt{161}}2, \ \frac{7+\sqrt{161}}2\bigg), \ \bigg(\frac{-7-\sqrt{161}}2, \ \frac{7-\sqrt{161}}2\bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(7,4), \ (-4,-7), \ \bigg(\frac{-7+\sqrt{161}}2, \ \frac{7+\sqrt{161}}2\bigg) ,\ \bigg(\frac{-7-\sqrt{161}}2, \ \frac{7-\sqrt{161}}2\bigg)

$(x-y)^2+4(x-y)=21, \ xy=28$