748. Sistem jednačina | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2+xy+y^2=19(x-y)^2 \\ x^2-xy+y^2=7(x-y)

REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu primenom formule za kvadrat razlike: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

x^2+xy+y^2=19(x-y)^2 \\ x^2+xy+y^2=19(x^2-2xy+y^2) \\ x^2+xy+y^2=19x^2-38xy+19y^2 \\ 18x^2-39xy+18y^2=0 \\ 6x^2-13xy+6y^2=0

Rešiti jednačinu po $x$ primenom formule za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=6,$ $b=-13y$ i $c=6y^2$

x_{1,2}=\frac {13y\pm\sqrt{(-13y)^2-4\cdot6\cdot6y^2}} {2\cdot6} \\ x_{1,2}=\frac {13y\pm5y} {12} \\ x_1=\frac32y \quad\lor\quad x_2=\frac 23y

Dobijaju se dva sistema jednačina.

1. \ x_1=\frac32y \\ \quad x^2-xy+y^2=7(x-y) \\ 2 \ x_2=\frac23y \\ \quad x^2-xy+y^2=7(x-y)

Uvrštanjem $x_1=\frac32y$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

\bigg(\frac32y\bigg)^2-\frac32y\cdot y+y^2=7(\frac32y-y) \\ \frac 94y^2-\frac32y^2+y^2=7\cdot \frac12y \\ \frac74y^2=\frac72y\\ 14y^2=28y \\ y^2-2y=0 \\ y(y-2)=0 \\ y_{1,1}=0 \quad\lor\quad y_{1,2}=2

Iz $x_1=\frac 32y$ sledi:

x_{1,1}=\frac32\cdot0=0 \\ x_{1,2}=\frac32\cdot2=3

Rešenja prvog sistema su:

(0,0) \ \text{i} \ (3,2)

Uvrštanjem $x_2=\frac23y$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

\bigg(\frac23y\bigg)^2-\frac23y\cdot y+y^2=7(\frac23y-y) \\ \frac 49y^2-\frac23y^2+y^2=-7\cdot \frac13y \\ \frac79y^2=-\frac73y\\ 21y^2=-63y \\ y^2+3y=0 \\ y(y+3)=0 \\ y_{1,1}=0 \quad\lor\quad y_{1,2}=-3

Iz $x_2=\frac 23y$ sledi:

x_{2,1}=\frac23\cdot0=0 \\ x_{2,2}=\frac23\cdot(-3)=-2

Rešenja drugog sistema su:

(0,0) \ \text{i} \ (-2,-3)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(0,0), \ (3,2) \ \text{i} \ (-2,-3)

x2+xy+y2=19(x−y)2, x2−xy+y2=7(x−y) x^2+xy+y^2=19(x-y)^2, \ x^2-xy+y^2=7(x-y) x2+xy+y2=19(x−y)2, x2−xy+y2=7(x−y)

$x^2+xy+y^2=19(x-y)^2, \ x^2-xy+y^2=7(x-y)$