Sistem sa zbirom razlomaka 37/6 i x + y = 21/8

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

\frac xy+\frac yx=\frac{37}6 \\ x+y=\frac{21}8

REŠENJE ZADATKA

Iz druge jednačine izraziti $y.$

x+y=\frac{21}8 \implies y=\frac{21}8-x

Uvrstiti $y$ u prvu jednačinu.

\frac x{\frac{21}8-x}+\frac {\frac{21}8-x}x=\frac{37}6

Pomnožiti izraz sa $6x(\frac{21}8-x).$

6x^2+6\bigg(\frac{21}8-x\bigg)^2=37x\bigg(\frac{21}8-x\bigg) \\ 6x^2+6\bigg(\frac{441} {64}-\frac{42}8x+x^2\bigg)=\frac {777}8x-37x^2 \\ 6x^2+\frac{1323} {32}-\frac {63}2x+6x^2=\frac {777}8x-37x^2\\ 12x^2+\frac{1323} {32}-\frac {63}2x=\frac {777}8x-37x^2

Pomnožiti izraz sa $32.$

384x^2+1323-1008x=3108x-1184x^2 \\ 1568x^2-4116x+1323=0

Podeliti obe strane jednačine sa $49.$

32x^2-84x+27=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=32,$ $b=-84$ i $c=27$

x_{1,2}=\frac {-84\pm\sqrt{(-84)^2-4\cdot32\cdot27}} {2\cdot32} \\ x_{1,2}=\frac {-84\pm\sqrt{7056-3456}} {64} \\ x_{1,2}=\frac {-84\pm60} {64}

Rešenja za $x$ su:

x_1=\frac 38 \quad\lor\quad x_2=\frac94

Uvrstiti $x_1=\frac38$ i $x_2=\frac94$ u jednačinu $y=\frac{21}8-x.$

y_1=\frac{21}8-\frac38=\frac94 \\ y_2=\frac{21}8-\frac 94=\frac38

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

\bigg(\frac38,\ \frac94\bigg) \text{ i } \bigg( \frac94,\ \frac38\bigg)

$\frac xy+\frac yx=\frac{37}6, \ x+y=\frac{21}8$