Sistem sa rešenjima (3, 5) i (−3, −5)

Prvu jednačinu pomnožiti sa $25,$ a drugu sa $11.$

75x^2-175xy+100y^2=550 \\ 55x^2-88xy+55y^2=550

Oduzimanjem druge jednačine od prve, dobija se homogena jednačina oblika $x^2+xy+y^2:$

75x^2-175xy+100y^2-55x^2+88xy-55y^2=550-550 \\ 20x^2-87xy+45y^2=0

Podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{20x^2}{y^2}-\frac{87xy}{y^2}+\frac{45y^2}{y^2}=0 \\ 20\cdot \bigg(\frac xy\bigg)^2-87\cdot\frac xy+45=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

20t^2-87t+45=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=20,$ $b=-87$ i $c=45$

t_{1,2}=\frac {87\pm\sqrt{(-87)^2-4\cdot20\cdot45} } {2\cdot20} \\ t_{1,2}=\frac {87\pm63} {40} \\ t_1=\frac35 \quad \lor \quad t_2=\frac{15}4

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=\frac35 \implies x=\frac35y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=\frac{15}{4} \implies x=\frac{15}{4}y

Uvrstiti $x=\frac35y$ i $x=\frac{15}{4}y$ u jednu od jednačina sistema:

3x^2-7xy+4y^2=22

Prvi slučaj: $x=\frac35y$

3\cdot\bigg(\frac35y\bigg)^2-7\cdot \frac35y \cdot y+4y^2=22 \\ 3\cdot \frac{9y^2}{25}-\frac {21y^2} 5+4y^2=22 \\ \frac{27y^2}{25}-\frac {105y^2} {25}+\frac{100y^2}{25}=22 \\ \frac{22y^2}{25}=22 \\ y^2=25 \\ y_1=5 \quad\lor\quad y_2=-5

Iz $x=\frac35y$ sledi:

x_1=\frac35\cdot5=3\\ x_2=\frac35\cdot(-5)=-3

Rešenja prvog sistema su:

(3,5) \ \text{i} \ (-3,-5)

Drugi slučaj: $x=\frac{15}{4} y$

3\cdot\bigg(\frac{15}{4} y\bigg)^2-7\cdot \frac{15}{4} y\cdot y+4y^2=22 \\ 3\cdot\frac{225y^2}{16} - \frac{105y^2}{4} +4y^2=22\\ \frac{675y^2}{16} - \frac{420y^2}{16} +\frac{64y^2}{16}=22 \\ \frac{319y^2}{16}=22 \\ y^2=\frac{32}{29} \\ y_3=\frac{4\sqrt{58}}{29} \quad\lor\quad y_4=-\frac{4\sqrt{58}}{29}

Iz $x=\frac{15}{4}y$ sledi:

x_3=\frac{15}4\cdot \frac{4\sqrt{58}}{29}=\frac{15\sqrt{58}}{29} \\ x_4=\frac{15}4\cdot\bigg(- \frac{4\sqrt{58}}{29}\bigg)=-\frac{15\sqrt{58}}{29}

Rešenja drugog sistema su:

\bigg(\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ \frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg) \ \text{i} \ \bigg(-\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ -\frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(3,5), \ (-3,-5), \ \bigg(\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ \frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg) \ \text{i} \ \bigg(-\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ -\frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg)

$3x^2-7xy+4y^2=22, \ 5x^2-8xy+5y^2=50$