731.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

3x2−7xy+4y2=225x2−8xy+5y2=503x^2-7xy+4y^2=22 \\ 5x^2-8xy+5y^2=50
REŠENJE ZADATKA

Prvu jednačinu pomnožiti sa 25,25, a drugu sa 11.11.

75x2−175xy+100y2=55055x2−88xy+55y2=55075x^2-175xy+100y^2=550 \\ 55x^2-88xy+55y^2=550

Oduzimanjem druge jednačine od prve, dobija se homogena jednačina oblika x2+xy+y2:x^2+xy+y^2:

75x2−175xy+100y2−55x2+88xy−55y2=550−55020x2−87xy+45y2=075x^2-175xy+100y^2-55x^2+88xy-55y^2=550-550 \\ 20x^2-87xy+45y^2=0

Podeliti obe strane sa y2,y^2, uz pretpostavku da y≠0.y\ne0.

20x2y2−87xyy2+45y2y2=020⋅(xy)2−87⋅xy+45=0\frac{20x^2}{y^2}-\frac{87xy}{y^2}+\frac{45y^2}{y^2}=0 \\ 20\cdot \bigg(\frac xy\bigg)^2-87\cdot\frac xy+45=0

Uvesti smenu t=xy.t=\frac{x}{y}.

20t2−87t+45=020t^2-87t+45=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=20,a=20, b=−87b=-87 i c=45c=45

t1,2=87±(−87)2−4⋅20⋅452⋅20t1,2=87±6340t1=35∨t2=154t_{1,2}=\frac {87\pm\sqrt{(-87)^2-4\cdot20\cdot45} } {2\cdot20} \\ t_{1,2}=\frac {87\pm63} {40} \\ t_1=\frac35 \quad \lor \quad t_2=\frac{15}4

Vratiti originalne promenljive xx i y.y. Dobijaju se dva slučaja.

1.xy=35  ⟹  x=35y2.xy=154  ⟹  x=154y1. \quad \frac{x}{y}=\frac35 \implies x=\frac35y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=\frac{15}{4} \implies x=\frac{15}{4}y

Uvrstiti x=35yx=\frac35y i x=154yx=\frac{15}{4}y u jednu od jednačina sistema:

3x2−7xy+4y2=223x^2-7xy+4y^2=22

Prvi slučaj: x=35yx=\frac35y

3⋅(35y)2−7⋅35y⋅y+4y2=223⋅9y225−21y25+4y2=2227y225−105y225+100y225=2222y225=22y2=25y1=5∨y2=−53\cdot\bigg(\frac35y\bigg)^2-7\cdot \frac35y \cdot y+4y^2=22 \\ 3\cdot \frac{9y^2}{25}-\frac {21y^2} 5+4y^2=22 \\ \frac{27y^2}{25}-\frac {105y^2} {25}+\frac{100y^2}{25}=22 \\ \frac{22y^2}{25}=22 \\ y^2=25 \\ y_1=5 \quad\lor\quad y_2=-5

Iz x=35yx=\frac35y sledi:

x1=35⋅5=3x2=35⋅(−5)=−3x_1=\frac35\cdot5=3\\ x_2=\frac35\cdot(-5)=-3

Rešenja prvog sistema su:

(3,5) i (−3,−5)(3,5) \ \text{i} \ (-3,-5)

Drugi slučaj: x=154yx=\frac{15}{4} y

3⋅(154y)2−7⋅154y⋅y+4y2=223⋅225y216−105y24+4y2=22675y216−420y216+64y216=22319y216=22y2=3229y3=45829∨y4=−458293\cdot\bigg(\frac{15}{4} y\bigg)^2-7\cdot \frac{15}{4} y\cdot y+4y^2=22 \\ 3\cdot\frac{225y^2}{16} - \frac{105y^2}{4} +4y^2=22\\ \frac{675y^2}{16} - \frac{420y^2}{16} +\frac{64y^2}{16}=22 \\ \frac{319y^2}{16}=22 \\ y^2=\frac{32}{29} \\ y_3=\frac{4\sqrt{58}}{29} \quad\lor\quad y_4=-\frac{4\sqrt{58}}{29}

Iz x=154yx=\frac{15}{4}y sledi:

x3=154⋅45829=155829x4=154⋅(−45829)=−155829x_3=\frac{15}4\cdot \frac{4\sqrt{58}}{29}=\frac{15\sqrt{58}}{29} \\ x_4=\frac{15}4\cdot\bigg(- \frac{4\sqrt{58}}{29}\bigg)=-\frac{15\sqrt{58}}{29}

Rešenja drugog sistema su:

(155829, 45829) i (−155829, −45829)\bigg(\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ \frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg) \ \text{i} \ \bigg(-\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ -\frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(3,5), (−3,−5), (155829, 45829) i (−155829, −45829)(3,5), \ (-3,-5), \ \bigg(\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ \frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg) \ \text{i} \ \bigg(-\frac{15\sqrt{58}}{29} , \ -\frac{4\sqrt{58}}{29} \bigg)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti