Sistem sa korenom iz 137 u rešenjima

Prvu jednačinu pomnožiti sa $5,$ a drugu sa $2.$

5x^2-15xy+20y^2=10 \\ -6x^2+2xy+10y^2=-10

Sabiranjem prve i druge jednačine, dobija se homogena jednačina oblika $x^2+xy+y^2:$

5x^2-15xy+20y^2-6x^2+2xy+10y^2=10-10 \\ -x^2-13xy+30y^2=0

Podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

-\frac{x^2}{y^2}-\frac{13xy}{y^2}+\frac{30y^2}{y^2}=0 \\ -\bigg(\frac xy\bigg)^2-13\cdot\frac xy+30=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

-t^2-13t+30=0

Pomnožiti izraz sa $-1.$

t^2+13t-30=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=13$ i $c=-30$

t_{1,2}=\frac {-13\pm\sqrt{13^2-4\cdot1\cdot(-30)} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {-13\pm17} {2} \\ t_1=-15 \quad \lor \quad t_2=2

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=-15 \implies x=-15y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=2 \implies x=2y

Uvrstiti $x=-15y$ i $x=2y$ u jednu od jednačina sistema:

x^2-3xy+4y^2=2

Prvi slučaj: $x=-15y$

(-15y)^2-3\cdot(-15y)\cdot y+4y^2=2 \\ 225y^2+45y^2+4y^2=2 \\ 274y^2=2 \\ y^2=\frac 1 {137} \\ y_1=\frac{\sqrt{137}}{137} \quad\lor\quad y_2=-\frac{\sqrt{137}}{137}

Iz $x=-15y$ sledi:

x_1=-15\cdot \frac{\sqrt{137}}{137} =-\frac{15\sqrt{137}}{137} \\ x_2=-15\cdot\bigg(-\frac{\sqrt{137}}{137} \bigg)=\frac{15\sqrt{137}}{137}

Rešenja prvog sistema su:

\bigg(-\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ \frac{\sqrt{137}}{137}\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ -\frac{\sqrt{137}}{137}\bigg)

Drugi slučaj: $x=2y$

(2y)^2-3\cdot 2y \cdot y+4y^2=2 \\ 4y^2-6y^2+4y^2=2 \\ 2y^2=2 \\ y_1=1 \quad\lor\quad y_2=-1

Iz $x=2y$ sledi:

x_1=2\cdot 1=2 \\ x_2=2\cdot (-1)=-2

Rešenja drugog sistema su:

(2,1) \ \text{i} \ (-2,-1)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

\bigg(-\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ \frac{\sqrt{137}}{137}\bigg), \ \bigg(\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ -\frac{\sqrt{137}}{137}\bigg), \ (2,1) \ \text{i} \ (-2,-1)

$x^2-3xy+4y^2=2, \ -3x^2+xy+5y^2=-5$