Homogen sistem sa x na 2 + 2xy + y − y na 2 = 8

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2-3xy+2y^2=0 \\ x^2+2xy+y-y^2=8

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x=2y$ i $x=y$ u drugu jednačinu sistema:

x^2+2xy+y-y^2=8

Pošto je prva jednačina homogena oblika $x^2+xy+y^2,$ podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{x^2}{y^2}-\frac{3xy}{y^2}+\frac{2y^2}{y^2}=0 \\ \bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2-3\cdot\frac{x}{y}+2=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

t^2-3t+2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=2$

t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm1 } {2} \\ t_1=2 \quad \lor \quad t_2=1

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=2 \implies x=2y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=1 \implies x=y

Prvi slučaj: $x=2y$

(2y)^2+2\cdot2y\cdot y+y-y^2=8 \\ 4y^2+4y^2+y-y^2=8 \\ 7y^2+y-8=0 \\ y_1=-\frac 87 \quad\lor\quad y_2=1

Iz $x=2y$ sledi:

x_1=2\cdot\bigg(-\frac87\bigg)=-\frac{16}7 \\ x_2=2\cdot 1=2

Rešenja prvog sistema su:

\bigg(-\frac{16}7, \ -\frac87\bigg) \ \text{i} \ (2,1)

Drugi slučaj: $x=y$

y^2+2y\cdot y +y-y^2=8 \\ 2y^2+y-8=0 \\ y_1=\frac{-1-\sqrt{65}}4 \quad\lor\quad y_2=\frac{-1+\sqrt{65}}4

Iz $x=y$ sledi:

x_3=\frac{-1-\sqrt{65}}4 \\ x_4\frac{-1+\sqrt{65}}4

Rešenja drugog sistema su:

\bigg(\frac{-1-\sqrt{65}}4, \ \frac{-1-\sqrt{65}}4\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-1+\sqrt{65}}4, \ \frac{-1+\sqrt{65}}4\bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

\bigg(-\frac{16}7, \ -\frac87\bigg), \ (2,1), \ \bigg(\frac{-1-\sqrt{65}}4, \ \frac{-1-\sqrt{65}}4\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-1+\sqrt{65}}4, \ \frac{-1+\sqrt{65}}4\bigg)

$x^2-3xy+2y^2=0, \ x^2+2xy+y-y^2=8$