725. Sistem jednačina | Balkan Tutor

Rešiti sistem jednačina.

x^2-7xy+10y^2=0 \\ x(x-y)+y(y+4)=10+x

Pošto je prva jednačina homogena oblika $x^2+xy+y^2,$ podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{x^2}{y^2}-\frac{7xy}{y^2}+\frac{10y^2}{y^2}=0 \\ \bigg(\frac xy\bigg)^2-7\cdot\frac{x}{y}+10=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

t^2-7t+10=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-7$ i $c=10$

t_{1,2}=\frac {7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot10} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {7\pm3} {2} \\ t_1=5 \quad \lor \quad t_2=2

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=5 \implies x=5y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=2 \implies x=2y

Uvrstiti $x=5y$ i $x=2y$ u drugu jednačinu sistema:

x(x-y)+y(y+4)=10+x

Prvi slučaj: $x=5y$

5y(5y-y)+y(y+4)=10+5y \\ 5y\cdot4y+y^2+4y-10-5y=0 \\ 20y^2+y^2-y-10=0 \\ 21y^2-y-10=0 \\ y_1=-\frac23 \quad\lor\quad y_2=\frac57

Iz $x=5y$ sledi:

x_1=5\cdot\bigg(-\frac23\bigg)=-\frac{10}3 \\ x_2=5\cdot\frac57=\frac{25}7

Rešenja prvog sistema su:

\bigg(-\frac{10}3, \ -\frac23\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{25}7, \ \frac57\bigg)

Drugi slučaj: $x=2y$

2y(2y-y)+y(y+4)=10+2y \\ 2y\cdot y+y^2+4y-10-2y=0 \\ 2y^2+y^2+2y-10=0 \\ 3y^2+2y-10=0 \\ y_3=\frac{-1-\sqrt{31}}3 \quad\lor\quad y_4=\frac{-1+\sqrt{31}}3

Iz $x=2y$ sledi:

x_3=2\cdot\frac{-1-\sqrt{31}}3=\frac{-2-2\sqrt{31}}3 \\ x_4=2\cdot\frac{-1+\sqrt{31}}3=\frac{-2+2\sqrt{31}}3

Rešenja drugog sistema su:

\bigg(\frac{-2-2\sqrt{31}}3, \ \frac{-1-\sqrt{31}}3\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-2+2\sqrt{31}}3, \ \frac{-1+\sqrt{31}}3\bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

\bigg(-\frac{10}3, \ -\frac23\bigg),\ \bigg(\frac{25}7, \ \frac57\bigg), \ \bigg(\frac{-2-2\sqrt{31}}3, \ \frac{-1-\sqrt{31}}3\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-2+2\sqrt{31}}3, \ \frac{-1+\sqrt{31}}3\bigg)

725.Sistem jednačina