726.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

2x2−3xy+y2=12x2+3xy−2y2=−132x^2-3xy+y^2=12 \\ x^2+3xy-2y^2=-13
REŠENJE ZADATKA

Prvu jednačinu pomnožiti sa 13,13, a drugu sa 12.12.

26x2−39xy+13y2=15612x2+36xy−24y2=−15626x^2-39xy+13y^2=156 \\ 12x^2+36xy-24y^2=-156

Sabiranjem prve i druge jednačine, dobija se homogena jednačina oblika x2+xy+y2:x^2+xy+y^2:

26x2−39xy+13y2+12x2+36xy−24y2=156−15638x2−3xy−11y2=026x^2-39xy+13y^2+12x^2+36xy-24y^2=156-156 \\ 38x^2-3xy-11y^2=0

Podeliti obe strane sa y2,y^2, uz pretpostavku da y≠0.y\ne0.

38x2y2−3xyy2−11y2y2=038⋅(xy)2−3⋅xy−11=0\frac{38x^2}{y^2}-\frac{3xy}{y^2}-\frac{11y^2}{y^2}=0 \\ 38\cdot\bigg(\frac xy\bigg)^2-3\cdot \frac xy-11=0

Uvesti smenu t=xy.t=\frac{x}{y}.

38t2−3t−11=038t^2-3t-11=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=38,a=38, b=−3b=-3 i c=−11c=-11

t1,2=3±(−3)2−4⋅38⋅(−11)2⋅38t1,2=3±4176t1=−12∨t2=1119t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot38\cdot(-11)} } {2\cdot38} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm41 } {76} \\ t_1=-\frac12 \quad \lor \quad t_2=\frac{11}{19}

Vratiti originalne promenljive xx i y.y. Dobijaju se dva slučaja.

1.xy=−12  ⟹  x=−12y2.xy=1119  ⟹  x=1119y1. \quad \frac{x}{y}=-\frac12 \implies x=-\frac12y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=\frac{11}{19} \implies x=\frac{11}{19}y

Uvrstiti x=−12yx=-\frac12y i x=1119yx=\frac{11}{19}y u jednu od jednačina sistema:

2x2−3xy+y2=122x^2-3xy+y^2=12

Prvi slučaj: x=−12yx=-\frac12y

2⋅(−12y)2−3⋅(−12y)⋅y+y2=122⋅y24+3y22+y2=12y22+3y22+2y22=126y22=123y2=12y2=4y1=2∨y2=−22\cdot\bigg(-\frac12y\bigg)^2-3\cdot\bigg(-\frac12y\bigg)\cdot y+y^2=12 \\ 2\cdot\frac {y^2}4+\frac {3y^2}2+y^2=12 \\ \frac {y^2}2+\frac {3y^2}2+\frac{2y^2}2=12 \\ \frac {6y^2}2=12 \\ 3y^2=12 \\ y^2=4 \\ y_1=2 \quad\lor\quad y_2=-2

Iz x=−12yx=-\frac12y sledi:

x1=−12⋅2=−1x2=−12⋅(−2)=1x_1=-\frac12\cdot2=-1\\ x_2=-\frac12\cdot(-2)=1

Rešenja prvog sistema su:

(−1,2) i (1,−2)(-1,2) \ \text{i} \ (1,-2)

Drugi slučaj: x=1119yx=\frac{11}{19} y

2⋅(1119y)2−3⋅(1119y)⋅y+y2=122⋅121y2361−33y219+y2=12242y2361−627y2361+361y2361=12−24y2361=12−24y2=4332y2=−3612y3=192 i2∨y4=−192 i22\cdot\bigg(\frac{11}{19} y\bigg)^2-3\cdot\bigg(\frac{11}{19} y\bigg)\cdot y+y^2=12 \\ 2\cdot \frac {121y^2}{361}-\frac{33y^2} {19}+y^2=12 \\ \frac {242y^2}{361}-\frac{627y^2} {361}+\frac{361y^2}{361}=12 \\ -\frac {24y^2}{361}=12 \\ -24y^2=4332 \\ y^2=-\frac{361}2 \\ y_3=\frac{19\sqrt2 \ i} 2 \quad\lor\quad y_4=\frac{-19\sqrt2 \ i} 2

Iz x=1119yx=\frac{11}{19}y sledi:

x3=1119⋅192 i2=112 i2x4=1119⋅−192 i2=−112 i2x_3=\frac{11}{19} \cdot \frac{19\sqrt2 \ i} 2=\frac{11\sqrt2 \ i} 2 \\ x_4=\frac{11}{19} \cdot \frac{-19\sqrt2 \ i} 2=\frac{-11\sqrt2 \ i} 2

Rešenja drugog sistema su:

(112 i2, 192 i2) i (−112 i2, −192 i2)\bigg(\frac{11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{19\sqrt2 \ i} 2 \bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{-19\sqrt2 \ i} 2 \bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(−1,2), (1,−2), (112 i2, 192 i2) i (−112 i2, −192 i2)(-1,2) , \ (1,-2), \ \bigg(\frac{11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{19\sqrt2 \ i} 2 \bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{-19\sqrt2 \ i} 2 \bigg)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti