Sistem dve kvadratne jednačine: rešenja (−1, 2)

Prvu jednačinu pomnožiti sa $13,$ a drugu sa $12.$

26x^2-39xy+13y^2=156 \\ 12x^2+36xy-24y^2=-156

Sabiranjem prve i druge jednačine, dobija se homogena jednačina oblika $x^2+xy+y^2:$

26x^2-39xy+13y^2+12x^2+36xy-24y^2=156-156 \\ 38x^2-3xy-11y^2=0

Podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{38x^2}{y^2}-\frac{3xy}{y^2}-\frac{11y^2}{y^2}=0 \\ 38\cdot\bigg(\frac xy\bigg)^2-3\cdot \frac xy-11=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

38t^2-3t-11=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=38,$ $b=-3$ i $c=-11$

t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot38\cdot(-11)} } {2\cdot38} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm41 } {76} \\ t_1=-\frac12 \quad \lor \quad t_2=\frac{11}{19}

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=-\frac12 \implies x=-\frac12y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=\frac{11}{19} \implies x=\frac{11}{19}y

Uvrstiti $x=-\frac12y$ i $x=\frac{11}{19}y$ u jednu od jednačina sistema:

2x^2-3xy+y^2=12

Prvi slučaj: $x=-\frac12y$

2\cdot\bigg(-\frac12y\bigg)^2-3\cdot\bigg(-\frac12y\bigg)\cdot y+y^2=12 \\ 2\cdot\frac {y^2}4+\frac {3y^2}2+y^2=12 \\ \frac {y^2}2+\frac {3y^2}2+\frac{2y^2}2=12 \\ \frac {6y^2}2=12 \\ 3y^2=12 \\ y^2=4 \\ y_1=2 \quad\lor\quad y_2=-2

Iz $x=-\frac12y$ sledi:

x_1=-\frac12\cdot2=-1\\ x_2=-\frac12\cdot(-2)=1

Rešenja prvog sistema su:

(-1,2) \ \text{i} \ (1,-2)

Drugi slučaj: $x=\frac{11}{19} y$

2\cdot\bigg(\frac{11}{19} y\bigg)^2-3\cdot\bigg(\frac{11}{19} y\bigg)\cdot y+y^2=12 \\ 2\cdot \frac {121y^2}{361}-\frac{33y^2} {19}+y^2=12 \\ \frac {242y^2}{361}-\frac{627y^2} {361}+\frac{361y^2}{361}=12 \\ -\frac {24y^2}{361}=12 \\ -24y^2=4332 \\ y^2=-\frac{361}2 \\ y_3=\frac{19\sqrt2 \ i} 2 \quad\lor\quad y_4=\frac{-19\sqrt2 \ i} 2

Iz $x=\frac{11}{19}y$ sledi:

x_3=\frac{11}{19} \cdot \frac{19\sqrt2 \ i} 2=\frac{11\sqrt2 \ i} 2 \\ x_4=\frac{11}{19} \cdot \frac{-19\sqrt2 \ i} 2=\frac{-11\sqrt2 \ i} 2

Rešenja drugog sistema su:

\bigg(\frac{11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{19\sqrt2 \ i} 2 \bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{-19\sqrt2 \ i} 2 \bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(-1,2) , \ (1,-2), \ \bigg(\frac{11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{19\sqrt2 \ i} 2 \bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-11\sqrt2 \ i} 2 , \ \frac{-19\sqrt2 \ i} 2 \bigg)

$2x^2-3xy+y^2=12, \ x^2+3xy-2y^2=-13$