Homogen sistem: x na 2 − 4xy + 3y na 2 = 0

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2-4xy+3y^2=0\\ x+2y=5

REŠENJE ZADATKA

Pošto je prva jednačina homogena oblika $x^2+xy+y^2,$ podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{x^2}{y^2} - \frac{4xy}{y^2}+ \frac{3y^2}{y^2}=0 \\ \bigg(\frac{x}{y} \bigg)^2-4\cdot\frac{x}{y}+3=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

t^2-4t+3=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-4$ i $c=3$

t_{1,2}=\frac {4\pm\sqrt{16-12} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {4\pm2 } {2} \\ t_1=3 \quad \lor \quad t_2=1

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=3 \implies x=3y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=1 \implies x=y

Uvrstiti $x=3y$ i $x=y$ u drugu jednačinu sistema:

x+2y=5

Prvi slučaj: $x=3y$

3y+2y=5 \\ 5y=5 \\ y=1

Iz $x=3y$ sledi:

x=3 \cdot 1=3

Drugi slučaj: $x=y$

y+2y=5 \\ 3y=5 \\ y=\frac{5}{3}

Iz $x=y$ sledi:

x=\frac{5}{3}

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

(3, 1) \text{ i } (\frac{5}{3}, \frac{5}{3})

1. Homogen sistem jednačina