Sistem sa dve apsolutne vrednosti

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

|x^2-2x|+y=1 \\ x^2+|y|=1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x^2-2x|= \begin {cases} x^2-2x, \quad x^2-2x \ge 0\\ -(x^2-2x), \quad x^2-2x< 0 \end {cases}

|x^2-2x|= \begin {cases} x^2-2x, \quad x(x-2) \ge 0\\ -(x^2-2x), \quad x(x-2)< 0 \end {cases}

|x^2-2x|= \begin {cases} x^2-2x, \quad x\in(-\infty,0] \ \cup \ [2, \infty)\\ -(x^2-2x), \quad x\in(0,2) \end {cases}

|y|= \begin {cases} y, \quad y \ge 0\\ -y, \quad y< 0 \end {cases}

Rešavanje sistema jednačina razdvojiti na četiri slučaja.

1. \ x^2-2x+y=1 \\ \quad x^2+y=1, \qquad x\in(-\infty,0] \ \cup \ [2, \infty) \quad\land\quad y \ge 0\\ 2. \ x^2-2x+y=1 \\ \quad x^2-y=1, \qquad x\in(-\infty,0] \ \cup \ [2, \infty) \quad\land\quad y \ge 0\\ 3. \ -(x^2-2x)+y=1 \\ \quad x^2+y=1, \qquad x\in(0,2) \quad\land\quad y< 0\\ 4. \ -(x^2-2x)+y=1 \\ \quad x^2-y=1, \qquad x\in(0,2) \quad\land\quad y< 0\\

Rešavanjem sistema u prvom slučaju dobija se:

(0,1)

Rešavanjem sistema u drugom slučaju dobija se:

\bigg(\frac{1-\sqrt5}2, \ \frac{1-\sqrt5}2\bigg)

Sistem u trećem slučaju nema rešenja, kako dobijene vrednosti za $x$ i $y$ ne ispunjavaju uslove $x\in(0,2)$ i $y< 0.$

Rešavanjem sistema u četvrtom slučaju dobija se:

(1,0)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(0,1), \ (1,0) \ \text{i} \ \bigg(\frac{1-\sqrt5}2, \ \frac{1-\sqrt5}2\bigg)

$|x^2-2x|+y=1, \ x^2+|y|=1$