Homogen sistem sa x na 2 − 3x − y + 3 = 0

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2-3xy+2y^2=0 \\ x^2-3x-y+3=0

REŠENJE ZADATKA

Pošto je prva jednačina homogena oblika $x^2+xy+y^2,$ podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{x^2}{y^2}-\frac{3xy}{y^2}+\frac{2y^2}{y^2}=0 \\ \bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2-3\cdot\frac{x}{y}+2=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

t^2-3t+2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=2$

t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm1 } {2} \\ t_1=2 \quad \lor \quad t_2=1

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=2 \implies x=2y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=1 \implies x=y

Uvrstiti $x=2y$ i $x=y$ u drugu jednačinu sistema:

x^2-3x-y+3=0

Prvi slučaj: $x=2y$

(2y)^2-3\cdot2y-y+3=0\\ 4y^2-6y-y+3=0\\ 4y^2-7y+3=0 \\ y_1=\frac34 \quad\lor\quad y_2=1

Iz $x=2y$ sledi:

x_1=2\cdot\frac34=\frac32 \\ x_2=2\cdot1=2

Rešenja prvog sistema su:

\bigg(\frac32, \ \frac34\bigg)\ \text{i} \ (2,1)

Drugi slučaj: $x=y$

y^2-3y-y+3=0 \\ y^2-4y+3=0 \\ y_3=1 \quad\lor\quad y_4=3

Iz $x=y$ sledi:

x_3=1 \\ x_4=3

Rešenja drugog sistema su:

(1,1)\ \text{i}\ (3,3)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

\bigg(\frac32, \ \frac34\bigg), \ (2,1), \ (1,1)\ \text{i}\ (3,3)

$x^2-3xy+2y^2=0, \ x^2-3x-y+3=0$