Homogen sistem: 3x na 2 − 7xy + 4y na 2 = 0

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

3x^2-7xy+4y^2=0 \\ 3x+y=10

REŠENJE ZADATKA

Pošto je prva jednačina homogena oblika $x^2+xy+y^2,$ podeliti obe strane sa $y^2,$ uz pretpostavku da $y\ne0.$

\frac{3x^2}{y^2}-\frac{7xy}{y^2}+\frac{4y^2}{y^2}=0\\ 3\cdot\bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2-7\cdot\frac{x}{y}+4=0

Uvesti smenu $t=\frac{x}{y}.$

3t^2-7t+4=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=3,$ $b=-7$ i $c=4$

t_{1,2}=\frac {7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot3\cdot4} } {2\cdot3} \\ t_{1,2}=\frac {7\pm1 } {6} \\ t_1=\frac43 \quad \lor \quad t_2=1

Vratiti originalne promenljive $x$ i $y.$ Dobijaju se dva slučaja.

1. \quad \frac{x}{y}=\frac43 \implies x=\frac43 y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=1 \implies x=y

Uvrstiti $x=\frac43y$ i $x=y$ u drugu jednačinu sistema:

3x+y=10

Prvi slučaj: $x=\frac43y$

3\cdot\frac43y+y=10 \\ 4y+y=10 \\ 5y=10 \\ y=2

Iz $x=\frac43y$ sledi:

x=\frac 43\cdot2=\frac83

Drugi slučaj: $x=y$

3y+y=10\\ 4y=10\\ y=\frac52

Iz $x=y$ sledi:

x=\frac52

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

\bigg(\frac83, \ 2\bigg)\ \text{i}\ \bigg(\frac52, \ \frac52\bigg)

$3x^2-7xy+4y^2=0, \ 3x+y=10$