Sistem sa parametrima a i b i razlikom kvadrata

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

\frac a {x+y}+\frac b{x-y}=1 \\ x^2-y^2=4ab

REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu.

\frac a {x+y}+\frac b{x-y}=1 \\ \frac {a(x-y)} {(x+y)(x-y)}+\frac {b(x+y)}{(x-y)(x+y)}=1 \\ \frac {a(x-y)+b(x+y)}{(x-y)(x+y)}=1 \\ a(x-y)+b(x+y)=(x-y)(x+y)

Na drugu jednačinu primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

x^2-y^2=4ab \\ (x-y)(x+y)=4ab

Uvesti smene $x-y=m$ i $x+y=n.$ Tada jednačine glase:

a\cdot m+b \cdot n=mn \\ mn=4ab

Izraziti $m$ iz druge jednačine.

mn=4ab \implies m=\frac{4ab} n

Uvrstiti $m=\frac{4ab}n$ u prvu jednačinu i $mn$ zameniti sa jednakošću iz druge jednačine.

a\cdot \frac{4ab}n+bn=4ab \\ 4a^2b+bn^2=4abn \\ n^2b-4abn+4a^2b=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po $n$ primenom formule: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=b,$ $b=-4ab$ i $c=4a^2b$

n_{1,2} = \frac{4ab\pm\sqrt{(-4ab)^2-4\cdot b\cdot 4a^2b}}{2\cdot b}\\ n_{1,2} = \frac{4ab\pm\sqrt{16a^2b^2-16a^2b^2}}{2b}\\ n_{1,2} = \frac{4ab}{2b}\\ n=2a ,\quad b\not=0

Uvrstiti $n=2a$ u jednačinu $m=\frac{4ab} n.$

m=\frac{4ab} {2a}=2b , \quad a\not=0

Rešenje za promenjive $m$ i $n$ je uređeni par:

(2b,\ 2a)

Uvrstiti dobijene vrednosti za $m$ i $n$ u jednačine:

x-y=2b \\ x+y=2a

Sabrati jednačine:

x-y+x+y=2b+2a \\ 2x=2(a+b) \\ x=a+b

Rešenja sistema su:

(a+b, \ a-b), \quad a,b\not=0

$\frac a {x+y}+\frac b{x-y}=1, \ x^2-y^2=4ab$