719.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

ax+y+bx−y=1x2−y2=4ab\frac a {x+y}+\frac b{x-y}=1 \\ x^2-y^2=4ab
REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu.

ax+y+bx−y=1a(x−y)(x+y)(x−y)+b(x+y)(x−y)(x+y)=1a(x−y)+b(x+y)(x−y)(x+y)=1a(x−y)+b(x+y)=(x−y)(x+y)\frac a {x+y}+\frac b{x-y}=1 \\ \frac {a(x-y)} {(x+y)(x-y)}+\frac {b(x+y)}{(x-y)(x+y)}=1 \\ \frac {a(x-y)+b(x+y)}{(x-y)(x+y)}=1 \\ a(x-y)+b(x+y)=(x-y)(x+y)

Na drugu jednačinu primeniti formulu za razliku kvadrata: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

x2−y2=4ab(x−y)(x+y)=4abx^2-y^2=4ab \\ (x-y)(x+y)=4ab

Uvesti smene x−y=mx-y=m i x+y=n.x+y=n. Tada jednačine glase:

a⋅m+b⋅n=mnmn=4aba\cdot m+b \cdot n=mn \\ mn=4ab

Izraziti mm iz druge jednačine.

mn=4ab  ⟹  m=4abnmn=4ab \implies m=\frac{4ab} n

Uvrstiti m=4abnm=\frac{4ab}n u prvu jednačinu i mnmn zameniti sa jednakošću iz druge jednačine.

a⋅4abn+bn=4ab4a2b+bn2=4abnn2b−4abn+4a2b=0a\cdot \frac{4ab}n+bn=4ab \\ 4a^2b+bn^2=4abn \\ n^2b-4abn+4a^2b=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po nn primenom formule: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=b,a=b, b=−4abb=-4ab i c=4a2bc=4a^2b

n1,2=4ab±(−4ab)2−4⋅b⋅4a2b2⋅bn1,2=4ab±16a2b2−16a2b22bn1,2=4ab2bn=2a,b≠0n_{1,2} = \frac{4ab\pm\sqrt{(-4ab)^2-4\cdot b\cdot 4a^2b}}{2\cdot b}\\ n_{1,2} = \frac{4ab\pm\sqrt{16a^2b^2-16a^2b^2}}{2b}\\ n_{1,2} = \frac{4ab}{2b}\\ n=2a ,\quad b\not=0

Uvrstiti n=2an=2a u jednačinu m=4abn.m=\frac{4ab} n.

m=4ab2a=2b,a≠0m=\frac{4ab} {2a}=2b , \quad a\not=0

Rešenje za promenjive mm i nn je uređeni par:

(2b, 2a)(2b,\ 2a)

Uvrstiti dobijene vrednosti za mm i nn u jednačine:

x−y=2bx+y=2ax-y=2b \\ x+y=2a

Sabrati jednačine:

x−y+x+y=2b+2a2x=2(a+b)x=a+bx-y+x+y=2b+2a \\ 2x=2(a+b) \\ x=a+b

Rešenja sistema su:

(a+b, a−b),a,b≠0(a+b, \ a-b), \quad a,b\not=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti