Podeli

718.
Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2+y^2=p^2+q^2 \\ x+y=p+q, \quad p,q\in\mathbb{R}

REŠENJE ZADATKA

Prvoj jednačini dodati i oduzeti $2xy,$ kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

x^2+2xy+y^2-2xy=p^2+q^2 \\ (x+y)^2-2xy=p^2+q^2

Uvesti smene $x+y=m$ i $xy=n.$ Tada sistem jednačina postaje:

m^2-2n=p^2+q^2 \\ m=p+q

Uvrstiti $m=p+q$ u prvu jednačinu.

(p+q)^2-2n=p^2+q^2 \\ p^2+2pq+q^2-2n=p^2+q^2 \\ 2n=2pq \\ n=pq

Uvrstiti $n=pq$ u jednačinu $m^2-2n=p^2+q^2.$

m^2-2pq=p^2+q^2 \\ m^2=p^2+2pq+q^2 \\ m^2=(p+q)^2 \\ m=\pm(p+q)

Rešenje za promenjive $m$ i $n$ su uređeni parovi:

(p+q, \ pq) \text{ i } (-p-q, \ pq)

Uvrstiti dobijene vrednosti za $m$ i $n$ u jednačine:

x+y=m \\ xy=n

Od uređenog para $(p+q, \ pq)$ dobija se sistem jednačina:

x+y=p+q \\ xy=pq

Rešenja sistema su uređeni parovi:

(p,q) \ \text{i}\ (q,p)

DODATNO OBJAŠNJENJE

Izraziti $y$ iz druge jednačine.

xy=pq \implies y=\frac {pq}x

Uvrstiti $y=\frac{pq}x$ u prvu jednačinu.

x+\frac{pq}x=p+q \\ \frac{x^2+pq}x=p+q \\x^2+pq=x(p+q) \\ x^2-x(p+q)+pq=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-(p+q)$ i $c=pq$

x_{1,2} = \frac{p+q\pm\sqrt{(-(p+q))^2-4\cdot1\cdot pq}}{2\cdot 1}\\ x_{1,2} = \frac{p+q\pm\sqrt{(p-q)^2}}{2}\\ x_{1,2} = \frac{p+q\pm(p-q)}{2}\\ x_1=p \quad \lor \quad x_2=q

Uvrstiti $x_1=p$ i $x_2=q$ u jednačinu $y=\frac {pq}x .$

y_1=\frac{pq}p=q \\ y_2=\frac{pq}q=p

Od uređenog para $(-p-q, \ pq)$ dobija se sistem jednačina:

x+y=-p-q \\ xy=pq

Rešenje ovog sistema su uređeni parovi:

(-p,-q) \ \text{i}\ (-q,-p)

Međutim, rešenja $(-p,-q)$ i $(-q,-p)$ ne ispunjavaju početnu jednačinu $x+y=p+q,$ pa ih treba odbaciti.

-p-q \ne p+q

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(p,q) \ \text{i}\ (q,p)

718.Sistem jednačina