Sistem sa recipročnim kvadratima i brojem 100

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

\frac1{y^2}-\frac3{x^2}=13 \\ \frac1{x^2y^2}=100

REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu.

\frac1{y^2}-\frac3{x^2}=13 \\ \frac{x^2}{x^2y^2}-\frac{3y^2}{x^2y^2}=13 \\ \frac{x^2-3y^2}{x^2y^2}=13 \\ x^2-3y^2=13x^2y^2

Nakon sređivanja, sistem jednačina postaje:

x^2-3y^2=13x^2y^2 \\ \frac1{100}=x^2y^2

Pomnožiti drugu jednačinu sa $13.$

x^2-3y^2=13x^2y^2 \\ \frac{13}{100}=13x^2y^2

Oduzeti jednačine:

x^2-3y^2-\frac{13}{100}=13x^2y^2-13x^2y^2 \\ x^2-3y^2-\frac{13}{100}=0 \\ x^2-3y^2=\frac{13}{100}

Tada sistem postaje:

x^2-3y^2=\frac{13}{100} \\ x^2y^2=\frac1{100}

Izraziti $x^2$ iz prve jednačine.

x^2-3y^2=\frac{13}{100} \implies x^2=\frac{13}{100}+3y^2

Uvrstiti $x^2=\frac{13}{100}+3y^2$ u drugu jednačinu.

\bigg(\frac{13}{100}+3y^2\bigg)y^2=\frac1{100} \\ \frac{13}{100}y^2+3y^4=\frac1{100} \\ 3y^4+\frac{13}{100}y^2-\frac1{100}=0

Pomnožiti izraz sa $100.$

300y^4+13y^2-1=0

Uvesti smenu $y^2=t.$

300t^2+13t-1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=300,$ $b=13$ i $c=-1$

t_{1,2} = \frac{-13\pm\sqrt{13^2-4\cdot300\cdot(-1)}}{2\cdot 3}\\ t_{1,2} = \frac{-13\pm37}{2}\\ t_1=\frac 1 {25} \quad\lor\quad t_2=-\frac1{12}

Vraćanjem smene $y^2=t$ dobijaju se rešenja za $y.$

y_1=\frac 15 \quad\lor\quad y_2=-\frac15

Uvrstiti $y_1=\frac15$ i $y_2=-\frac15$ u jednačinu $x^2=\frac{13}{100}+3y^2.$

x^2=\frac{13}{100}+3\cdot \bigg( \frac15 \bigg)^2=\frac14 \implies x_{1,2}=\pm\frac12 \\ x^2=\frac{13}{100}+3\cdot \bigg(-\frac15 \bigg)^2=\frac14 \implies x_{3,4}=\pm\frac12

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

\bigg(\frac12, \ \frac15 \bigg), \ \bigg(\frac12, \ -\frac15 \bigg), \ \bigg(-\frac12, \ \frac15 \bigg) \ \text{i}\ \bigg(-\frac12, \ -\frac15 \bigg)

$\frac1{y^2}-\frac3{x^2}=13, \ \frac1{x^2y^2}=100$