Sistem jednačina: deljenje jednačina, 525 i 35

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2+x^2y^2+x^2y^4=525 \\ x+xy+xy^2=35

REŠENJE ZADATKA

Podeliti prvu jednačinu drugom.

\frac{x^2+x^2y^2+x^2y^4}{ x+xy+xy^2}=\frac{525}{35} \\ \frac{x^2(1+y^2+y^4)}{x(1+y+y^2)}=15\\ \frac{x(1+y^2+y^4)}{1+y+y^2}=15

Zagradi u brojiocu dodati i oduzeti $y^2$ kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

1+y^2+y^4+y^2-y^2=0 \\ 1+2y^2+y^4-y^2=0 \\ (1+y^2)^2-y^2=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(1-y+y^2)(1+y+y^2)=0

Uvrstiti dobijeni izraz u brojilac.

\frac{x(1-y+y^2)(1+y+y^2)}{1+y+y^2}=15 \\ x(1-y+y^2)=15

Sistem se svodi na:

x(1-y+y^2)=15 \\ x(1+y+y^2)=35

Podeliti prvu jednačinu drugom.

\frac{x(1-y+y^2)}{x(1+y+y^2)}=\frac{15}{35} \\ \frac{1-y+y^2}{1+y+y^2}=\frac37 \\ 7(1-y+y^2)=3(1+y+y^2) \\ 7-7y+7y^2=3+3y+3y^2 \\ 4y^2-10y+4=0 \\ 2y^2-5+2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-5$ i $c=2$

y_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot2}} {2\cdot2} \\ y_{1,2}=\frac {5\pm3} {4} \\ y_1=2 \quad\lor\quad y_2=\frac 12

Uvrštanjem dobijenih vrednosti za $y$ u jednu od jednačina sistema, dobijaju se rešenja za $x.$

x_1=5 \quad\lor\quad x_2=20

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(5,2) \ \text{i} \ (20,\frac12)

$x^2+x^2y^2+x^2y^4=525, \ x+xy+xy^2=35$