749.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x3−y3=19(x−y)x3+y3=7(x+y)x^3-y^3=19(x-y) \\ x^3+y^3=7(x+y)
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za razliku kubova na prvu jednačinu: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

(x−y)(x2+xy+y2)=19(x−y)(x−y)(x2+xy+y2)−19(x−y)=0(x−y)(x2+xy+y2−19)=0(x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y) \\ (x-y)(x^2+xy+y^2)-19(x-y)=0 \\ (x-y)(x^2+xy+y^2-19)=0

Primeniti formulu za zbir kubova na drugu jednačinu: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

(x+y)(x2−xy+y2)=7(x+y)(x+y)(x2−xy+y2)−7(x+y)=0(x+y)(x2−xy+y2−7)=0(x+y)(x^2-xy+y^2)=7(x+y) \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-7(x+y)=0 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2-7)=0

Dobijaju se tri sistema:

1. x+y=0(x−y)(x2+xy+y2−19)=02. x−y=0(x+y)(x2−xy+y2−7)=03. x2+xy+y2−19=0x2−xy+y2−7=01. \ x+y=0\\ \quad (x-y)(x^2+xy+y^2-19)=0 \\ 2. \ x-y=0 \\ \quad (x+y)(x^2-xy+y^2-7)=0 \\ 3. \ x^2+xy+y^2-19=0 \\ \quad x^2-xy+y^2-7=0

Iz prve jednačine se dobija relacija između xx i yy za prvi sistem:

x=−yx=-y

Kako bi se dobilo rešenje prvog sistema, uvrstiti x=−yx=-y u drugu jednačinu.

(−y−y)((−y)2−y⋅y+y2−19)=0−2y(y2−y2+y2−19)=0−2y(y2−19)=0y1=0∨y2=19∨y3=−19(-y-y)((-y)^2-y\cdot y+y^2-19)=0 \\ -2y(y^2-y^2+y^2-19)=0\\ -2y(y^2-19)=0 \\ y_1=0 \quad\lor\quad y_2=\sqrt{19} \quad\lor\quad y_3=-\sqrt{19}

Iz x=−yx=-y sledi:

x1=0∨x2=−19∨x3=19x_1=0 \quad\lor\quad x_2=-\sqrt{19} \quad\lor\quad x_3=\sqrt{19}

Rešenja prvog sistema su:

(0,0), (19,−19) i (−19,19)(0,0), \ (\sqrt{19},-\sqrt{19}) \ \text{i} \ (-\sqrt{19},\sqrt{19})

Iz prve jednačine se dobija relacija između xx i yy za drugi sistem:

x=yx=y

Kako bi se dobilo rešenje drugog sistema, uvrstiti x=yx=y u drugu jednačinu.

(y+y)(y2−y⋅y+y2−7)=02y(y2−y2+y2−7)=02y(y2−7)=0y1=0∨y2=7∨y3=−7(y+y)(y^2-y\cdot y+y^2-7)=0 \\ 2y(y^2-y^2+y^2-7)=0 \\ 2y(y^2-7)=0 \\ y_1=0 \quad\lor\quad y_2=\sqrt7 \quad\lor\quad y_3=-\sqrt7

Iz x=yx=y sledi:

x1=0∨x2=7∨x3=−7x_1=0 \quad\lor\quad x_2=\sqrt7 \quad\lor\quad x_3=-\sqrt7

Rešenja drugog sistema su:

(0,0), (7,7) i (−7,−7)(0,0), \ (\sqrt7,\sqrt7) \ \text{i} \ (-\sqrt7,-\sqrt7)

Kako bi se dobilo rešenje trećeg sistema, potrebno je oduzeti drugu jednačinu od prve i izraziti y.y.

x2+xy+y2−19−x2+xy−y2+7=02xy=12x=6y x^2+xy+y^2-19-x^2+xy-y^2+7=0 \\ 2xy=12 \\ x=\frac 6y

Kako bi se dobilo rešenje trećeg sistema, uvrstiti x=6yx=\frac6y u jednu od jednačina trećeg sistema.

(6y)2+6y⋅y+y2−19=036y2+6+y2−19=036−13y2+y4=0\bigg(\frac6y\bigg)^2+\frac6y\cdot y+y^2-19=0 \\ \frac{36}{y^2}+6+y^2-19=0\\ 36-13y^2+y^4=0

Uvesti smenu y2=t.y^2=t.

t2−13t+36=0t^2-13t+36=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−13b=-13 i c=36c=36

t1,2=13±(−13)2−4⋅1⋅362⋅1t1,2=13±52t1=9∨t2=4t_{1,2}=\frac {13\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot1\cdot36}} {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {13\pm5} {2} \\ t_1=9 \quad\lor\quad t_2=4

Vratiti smenu y2=ty^2=t i uvrstiti dobijene vrednosti.

y2=9∨y2=4y1=±3∨y2=±2y^2=9 \quad\lor\quad y^2=4 \\ y_1=\pm3 \quad\lor\quad y_2=\pm2

Iz x=6yx=\frac6y sledi:

x1=6±3=±2x2=6±2=±3x_1=\frac6 {\pm3}=\pm2 \\ x_2=\frac6{\pm2}=\pm3

Rešenja trećeg sistema su:

(2,3), (−2,−3), (3,2) i (−3,−2)(2,3), \ (-2,-3), \ (3,2) \ \text{i} \ (-3,-2)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(0,0), (19,−19), (−19,19), (7,7) i (−7,−7), (2,3), (−2,−3), (3,2) i (−3,−2)(0,0), \ (\sqrt{19},-\sqrt{19}), \ (-\sqrt{19},\sqrt{19}), \ (\sqrt7,\sqrt7) \ \text{i} \ (-\sqrt7,-\sqrt7), \ (2,3), \ (-2,-3), \ (3,2) \ \text{i} \ (-3,-2)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti