Sistem jednačina sa zbirom i razlikom kubova

Primeniti formulu za razliku kubova na prvu jednačinu: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

(x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y) \\ (x-y)(x^2+xy+y^2)-19(x-y)=0 \\ (x-y)(x^2+xy+y^2-19)=0

Primeniti formulu za zbir kubova na drugu jednačinu: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

(x+y)(x^2-xy+y^2)=7(x+y) \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-7(x+y)=0 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2-7)=0

Dobijaju se tri sistema:

1. \ x+y=0\\ \quad (x-y)(x^2+xy+y^2-19)=0 \\ 2. \ x-y=0 \\ \quad (x+y)(x^2-xy+y^2-7)=0 \\ 3. \ x^2+xy+y^2-19=0 \\ \quad x^2-xy+y^2-7=0

Iz prve jednačine se dobija relacija između $x$ i $y$ za prvi sistem:

x=-y

Kako bi se dobilo rešenje prvog sistema, uvrstiti $x=-y$ u drugu jednačinu.

(-y-y)((-y)^2-y\cdot y+y^2-19)=0 \\ -2y(y^2-y^2+y^2-19)=0\\ -2y(y^2-19)=0 \\ y_1=0 \quad\lor\quad y_2=\sqrt{19} \quad\lor\quad y_3=-\sqrt{19}

Iz $x=-y$ sledi:

x_1=0 \quad\lor\quad x_2=-\sqrt{19} \quad\lor\quad x_3=\sqrt{19}

Rešenja prvog sistema su:

(0,0), \ (\sqrt{19},-\sqrt{19}) \ \text{i} \ (-\sqrt{19},\sqrt{19})

Iz prve jednačine se dobija relacija između $x$ i $y$ za drugi sistem:

x=y

Kako bi se dobilo rešenje drugog sistema, uvrstiti $x=y$ u drugu jednačinu.

(y+y)(y^2-y\cdot y+y^2-7)=0 \\ 2y(y^2-y^2+y^2-7)=0 \\ 2y(y^2-7)=0 \\ y_1=0 \quad\lor\quad y_2=\sqrt7 \quad\lor\quad y_3=-\sqrt7

Iz $x=y$ sledi:

x_1=0 \quad\lor\quad x_2=\sqrt7 \quad\lor\quad x_3=-\sqrt7

Rešenja drugog sistema su:

(0,0), \ (\sqrt7,\sqrt7) \ \text{i} \ (-\sqrt7,-\sqrt7)

Kako bi se dobilo rešenje trećeg sistema, potrebno je oduzeti drugu jednačinu od prve i izraziti $y.$

x^2+xy+y^2-19-x^2+xy-y^2+7=0 \\ 2xy=12 \\ x=\frac 6y

Kako bi se dobilo rešenje trećeg sistema, uvrstiti $x=\frac6y$ u jednu od jednačina trećeg sistema.

\bigg(\frac6y\bigg)^2+\frac6y\cdot y+y^2-19=0 \\ \frac{36}{y^2}+6+y^2-19=0\\ 36-13y^2+y^4=0

Uvesti smenu $y^2=t.$

t^2-13t+36=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-13$ i $c=36$

t_{1,2}=\frac {13\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot1\cdot36}} {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {13\pm5} {2} \\ t_1=9 \quad\lor\quad t_2=4

Vratiti smenu $y^2=t$ i uvrstiti dobijene vrednosti.

y^2=9 \quad\lor\quad y^2=4 \\ y_1=\pm3 \quad\lor\quad y_2=\pm2

Iz $x=\frac6y$ sledi:

x_1=\frac6 {\pm3}=\pm2 \\ x_2=\frac6{\pm2}=\pm3

Rešenja trećeg sistema su:

(2,3), \ (-2,-3), \ (3,2) \ \text{i} \ (-3,-2)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(0,0), \ (\sqrt{19},-\sqrt{19}), \ (-\sqrt{19},\sqrt{19}), \ (\sqrt7,\sqrt7) \ \text{i} \ (-\sqrt7,-\sqrt7), \ (2,3), \ (-2,-3), \ (3,2) \ \text{i} \ (-3,-2)

$x^3-y^3=19(x-y), \ x^3+y^3=7(x+y)$