Vietove formule: kada su oba rešenja pozitivna

TEKST ZADATKA

Primenom Vietovih formula odrediti vrednost realnog parametra $m$ tako da rešenja jednačine $x^2-4x+2(m-3)=0$ budu pozitivna.

REŠENJE ZADATKA

Da bi rešenja bila pozitivna tj. $x_1>0,\space x_2>0$ uslovi $D\ge0,\space (x_1+x_2)<0$ i $x_1x_2>0$ moraju biti zadovoljeni.

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=1, \ b=-4, \ c=2(m-3).$

D=4^2-4 \cdot 2(m-3) \\ D=16-8m+24 \\ D=40-8m\\ D=8(5-m)

Kako je uslov zadatka da je $D\ge0$ onda i za dobijeni izraz važi isti uslov $8(5-m)\ge0.$

8(5-m)\ge0\\ 5-m\ge0\\ -m\ge-5\\ m\le5

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-4$ i $c=2(m-3).$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=2(m-3)

Vratiti se na drugi uslov zadatka $x_1+x_2>0$ i uvrstiti izračunati vrednost $4>0,$ koja je uvek tačna.

Vratiti se na treći uslov zadatka $x_1x_2>0$ i uvrstiti dobijeni izraz.

2(m-3)>0\\ m-3>0\\ m>3

Konačno rešenje zadatka je presek svih uslova. Jednačina ima pozitivna rešenja za $m\in(3,5].$

19. Ispitivanje rešenja