Kvadratna jednačina sa negativnim rešenjima

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost realnog parametra $m$ za koje jednačina $x^2+4mx+5m-1=0$ ima realna negativna rešenja.

REŠENJE ZADATKA

Rešenja jednačine su negativna ako je $x_1+x_2<0$ i $x_1x_2>0.$

-4m<0, \quad 5m-1>0\\ m>0, \quad m>\frac{1}{5}

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=1, \ b=4m, \ c=5m-1$

D=(4m)^2-4(5m-1)\\ D=16m^2-20m+4

Jednačina ima dva realna rešenja ako je $D\geq0.$

16m^2-20m+4\geq0\\ 4(4m^2-5m+1)\geq0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=4, \space b=-5$ i $c=1.$

m_1=1, \quad m_2=\frac{1}{4}

Nejednačina sada izgleda ovako $4(m-1)(4m-1)\geq0.$

-\infin, \frac{1}{4}

\frac{1}{4}, 1

1, \infin

m-1

-

-

+

4m-1

-

+

+

Rešenje pročiati iz tabele.

m\in(-\infin, \frac{1}{4}]\cup[ 1,\infin)

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=4m$ i $c=5m-1.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4m, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=5m-1

Konačno rešenje je presek svih uslova tj. $m\in(\frac{1}{5}, \frac{1}{4} ]\cup[ 1,\infin).$

47. Ispitivanje rešenja