Vietove formule: jedan koren tri puta veći od drugog

TEKST ZADATKA

Odrediti realan parametar $m$ za koji je jedan koren jednačine $x^2-2(m+1)+m^2+3=0$ tri puta veći od drugog.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-2(m+1)$ i $c=m^2+3.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2(m+1), \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+3

Primeniti zadatu relaciju $x_1=3x_2.$

4x_2=2(m+1), \quad 3x_2^2=m^2+2\\ x_2=\frac{m+1}{2}, \quad x_2^2=\frac{m^2+3}{3}

Kvadrirati izraz $x_2=\frac{m+1}{2}$ i izjednačiti ga sa $x_2^2=\frac{m^2+3}{3}.$

\frac{(m+1)^2}{4}=\frac{m^2+3}{3}\\ 3(m^2+2m+1)=4(m^2+3)\\ m^2-6m+9=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=-6$ i $c=9.$

m=3

45. Ispitivanje rešenja