Realna i različita rešenja: parametar m, m ≠ 2

TEKST ZADATKA

Odrediti $m$ tako da rešenja jednačine $(2-m)x^2-2mx-2m-2=0, \space m\not=2$ budu realna i različita. Koristeći Vietove formule izraziti $x_1$ i $x_2,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja date jednačine.

REŠENJE ZADATKA

Ako je $D>0$ onda jednačina ima dva realna i različita rešenja.

-m^2+2m+4>0

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=2-m, \ b=-2m, \ c=-2m-2$

D=(-2m)^2-4\cdot(2-m)(-2m-2)\\ D=-m^2+2m+4

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=-1, \space b=2$ i $c=4.$

m_1=1+\sqrt{5},\quad m_2=1-\sqrt{5}

Nejednačina sada izgleda ovako $(m-(1+\sqrt{5}))(m-(1-\sqrt{5}))<0$ a rešenje je skup $m\in(1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5)}.$

Zbog uslova zadatka $m\not=2$ konačno rešenje je presek skupa sa tim tj. $x\in(1-\sqrt{5},2)\cup(2, 1+\sqrt{5}).$

Sada je potrebno odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=2-m, b=-2m$ i $c=-2m-2.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m}{2-m}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{2(m+1)}{2-m}

Započni učenje

Online časovi

44. Ispitivanje rešenja

Beleške