874. Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

U kvadratnoj jednačini $x^2-(1+2m)x+m^2+2=0$ odrediti realan parametar $m$ tako da jedan njen koren bude dva puta veći od drugog, a zatim izračunati te korene.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-(1+2m)$ i $c=m^2+2.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1+2m, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+2

U izraze za Vietove formule uvrstiti zadatu relaciju $x_1=2x_2.$

3x_2=1+2m, \quad 2x_2^2=m^2+2\\ x_2=\frac{1+2m}{3}, \quad x_2^2=\frac{m^2+2}{2}

Kvadrirati izraz $x_2=\frac{1+2m}{3}$ i izjednačiti ga.

(\frac{1+2m}{3})^2=\frac{m^2+2}{2}\\ 2(1+2m)^2=3^2(m^2+2)\\ 2(1+4m+4m^2)=9(m^2+2)\\ m^2-8m+16=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=-8$ i $c=16.$

m_{1,2}=4

Uvrštavanjem vrednosti $m=4$ u izraze za $x_1$ i $x_2$ dobijaju se rešenja:

x_1=6, \quad x_2=3

49. Ispitivanje rešenja