Vietove formule: zbir recipročnih kubova korena

TEKST ZADATKA

Data je kvadratna jednačina $x-px+p=0.$ Ako su $x_1$ i $x_2$ koreni date kvadratne jednačine, odrediti vrednost realnog parametra $p$ tako da važi $\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}=4$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-p$ i $c=p.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=p, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=p

Srediti izraz date relacije.

\frac{1}{x_!^3}+\frac{1}{x_2^3}=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^3x_2^3}

Primeniti formulu za zbir kubova $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ i formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}=\frac{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)}{(x_1x_2)^3}=\frac{(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2))}{(x_1x_2)^3}

Uvrstiti izračunate vrednosti za Vietove formule u izraz.

4=\frac{p(p^2-3p)}{p^3}\\ 4=\frac{p-3}{p}\\ 4p=p-3\implies p=-1

Izraz je definisan uz uslov $p\not=0.$

Započni učenje

Online časovi

50. Ispitivanje rešenja

Beleške