Vietove formule: vrednost izraza bez rešavanja

TEKST ZADATKA

Ne reševajući jednačinu $x^22+4x-21=0$ odrediti vrednost izraza:

\frac{3x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2}{x_1^3+2x_1^2x_2+2x_1x_2^2+x_2^3}.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=4$ i $c=-21.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-21

Srediti izraz:

\frac{3(x_1^2+x_2^2)-4x_1x_2}{x_1^3+x_2^3+2x_1^2x_2+2x_1x_2^2}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ i formulu za kub zbira $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

\frac{3((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)-4x_1x_2}{(x_1+x_2)^3-(3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)+2x_1^2x_2+2x_1x_2^2}

Srediti izraz:

\frac{3(x_1+x_2)^2-6x_1x_2-4x_1x_2}{(x_1+x_2)^3-x_1^2x_2-x_1x_2^2}=\frac{2(x_1+x_2)^2-10x_1x_2}{(x_1+x_2)^3-x_1x_2(x_1+x_2)}

Uvrstiti dobijene vrednosti za Vietove formule:

\frac{3\cdot (-4)^2-10\cdot(-21)}{(-4)^3+21\cdot(-4)}=-\frac{129}{74}

21. Ispitivanje rešenja