697. Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Neka su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $x^2-x-2=0.$ Ne rešavanjući jednačinu odrediti: $\space$ $1' \space x_1^2+x_2^2=? \quad 2'\space x_1^3+x_2^3=?\quad 3'\space x_1^4+x_2^4=?$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula hnajući da je $a=1, b=-1$ i $c=-2.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1,\quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-2

Prvi slučaj $x_1^2+x_2^2$ može se zapisati preko formule za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Zameniti izračunate vrednosti u izraz:

1^2-2\cdot(-2)=1+4=5

Drugi slučaj $x_1^3+x_2^3$ može se zapisati preko formule za kubzbira $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-(3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)

Izvući zajednučki član $3x_1x_2$ ispred druge zagrade:

(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_2+x_1)

Zameniti izračunate vrednosti u izraz:

1^3-3\cdot(-2)\cdot1=1+6=7

Treći slučaj $x_1^4+x_2^4$ može se zapisati preko formule za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2

Uvrstiti izračunate vrednosti u izraz:

5^2-2\cdot(-2)^2=25-8=17

9. Ispitivanje rešenja