Vietove formule: uslov sa kubovima i kvadratima korena

TEKST ZADATKA

U datoj jednačini odrediti realan parametar $m$ tako da rešenja jednačine zadovoljavaju datu relaciju

(m-1)x^2+(m+1)x+m+1=0, \quad x_1^3+x_2^2=x_1^2x_2^2.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=m-1, b=m+1,$ i $c=m+1.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{m+1}{m-1}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m+1}{m-1}

Primeniti formulu za kub zbira $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

(x_1+x_2)^3-(3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)=(x_1x_2)^2\\ (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=(x_1x_2)^2\\ (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=(x_1x_2)^2

Uvrstiti vrednosti za Vietove formule.

-\frac{m+1}{m-1}\cdot((-\frac{m+1}{m-1})^2-3\cdot\frac{m+1}{m-1})=(\frac{m+1}{m-1})^2

Srediti izraz.

-\frac{1+2m+m^2}{(m-1)^2}+\frac{3(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}\\ \frac{3m^2-3-1-2m-m^2}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}\\ \frac{2m^2-2m-4}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}

Prebaciti razlomke na istu stranu jednakosti i dovesti ih na zajednički imenilac $(m-1)^2.$

\frac{2m^2-2m-4-(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}=0\\ \frac{2m^2-2m-4-m^2+1}{(m-1)^2}=0\\ \frac{m^2-2m-3}{(m-1)^2}=0

Razlomak je jednak nuli ako mu je delilac jednak nuli.

m^2-2m-3=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=-2$ i $c=-3.$

m_1=-1,\quad m_2=3

Rešenja su definisana uz uslov da $(m-1)^2\not=0$ tj. $(m-1)\not=0\implies m\not=1.$

25. Ispitivanje rešenja