Vietove formule: parametar m preko kuba zbira korena

TEKST ZADATKA

U jednačini $3x^2-2(m+1)x+m-1=0$ odrediti realan parametar $m$ ako je $9x_1x_2^2+3x_1^3+9x_1^2x_2+3x_2^3=192.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=3, b=2(m+1)$ i $c=m-1.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2(m+1)}{3}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-1}{3}

Potrebno je napisatis zadatu relaciju na drugi način.

3x_1^3+9x_1^2x_2+9x_1x_2^2+3x_2^3=192\\ 3(x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3)=192

Primeniti formulu za kub zbira $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

3(x_1+x_2)^3=192

Uvrstiti vrednost za Vietovu formulu.

3\cdot\frac{2^3(m+1)^3}{3^3}=192

Srediti izraz.

\frac{8(m+1)^3}{9}=192\\ (m+1)^3=216\\ \sqrt[3]{(m+1)^3}=\sqrt[3]{216}\\ m+1=6\implies m=5

24. Ispitivanje rešenja