Vietove formule: realni p i q iz dva uslova

TEKST ZADATKA

Neka su $x_1$ $x_2$ rešenja u skupu kompleksnih brojeva kvadratne jednačine $x^2+px+q=0.$ Izračunati realne brojeve $p$ i $q$ tako da važi:

\quad \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}=p\quad \text{i}\quad \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=q

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=p$ i $c=q.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-p, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=q

Srediti relaciju datu za $q.$

q=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\\ q=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}

Uvrstiti vrednosti Vietovih formula.

q=\frac{-p}{q}\implies p=-q^2

Izarz za $q$ je definisan ako $x_1\not=0$ i $x_2\not=0$ tj. $p=-q^2\not=0.$

Srediti relaciju datu za $p.$

p=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\\ p=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}

Primeniti formulu za zbir kubova $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$

p=\frac{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2)}{x_1x_2}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

p=\frac{(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)}{x_1x_2}

Zameniti vrednosti Vietovih formula i srediti izraz.

p=\frac{-p(p^2-3q)}{q}\\ 1=\frac{3q-p^2}{q}

Uvrstiti izraz za $p=-q^2.$

1=\frac{3q-q^4}{q}\\ 1=3-q^3\\ q^3=2 \implies q=\sqrt[3]{2}, \space p=-\sqrt[3]{4}

41. Ispitivanje rešenja