Parametar m iz uslova zbir kvadrata je 10/9

TEKST ZADATKA

U jednačini $(m+2)x^2-2(m+1)x+m=0$ odrediti realan broj $m$ ako je $x_1^2+x_2^2=\frac{10}{9}.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=m+1, b=-2(m+1)$ i $c=m.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2(m+1)}{m+2}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{m+2}

Data relacija $x_1^2+x_2^2$ može se zapisati preko formule za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Uvrstiti već određene izraze za Vietove formule.

\frac{10}{9}=(\frac{2(m+1)}{m+2})^2-\frac{2m}{m+2}

Primeniti formulu za kvadrat zbira i prebaciti sve razlomke na istu stranu znaka jednakosti.

\frac{4(m^2+2m+1)}{(m+2)^2}-\frac{2m}{m+2}-\frac{10}{9}=0

Dovesti razlomke na zajednički imenilac $9(m+2)^2.$

\frac{36(m^2+2m+1)-18m(m+2)-10(m+2)^2}{9(m+2)^2}=0

Srediti izraz.

\frac{36m^2+72m+36-18m^2-36m-10m^2-40m-40}{9(m+2)^2}=0\\ \frac{2m^2-m-1}{9(m+2)^2}=0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednak nuli.

2m^2-m-1=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=2, \space b=-1$ i $c=-1.$

m_1=1,\quad m_2=-\frac{1}{2}

Jednačina je definisana za $(m+2)^2\not=0$ tj. $m\not=-2.$

17. Ispitivanje rešenja