Zbir kvadrata korena 5/2 i funkcija sa maksimumom

TEKST ZADATKA

Označimo sa $x_1$ i $x_2$ korene kvadratne funkcije $y=mx^2-4x-m-1.$ Odrediti realan parametar $m$ tako da važi $x_1^2+x_2^2=\frac{5}{2}$ i da pri tom data funkcija ima maksimum.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=m, \space b=-4$ i $c=-m-1.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4}{m}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{m+1}{m}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ kod relacije zadate u zadatku.

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Uvrstiti izraze za Vietove formule.

\frac{5}{2}=(\frac{4}{m})^2-2\cdot(-\frac{m+1}{m})\\ \frac{5}{2}=\frac{16+2m(m+1)}{m^2}\\ -m^2+4m+32=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=-1, \space b=4$ i $c=32.$

m_1=-4, \quad m_2=8

Da bi funkcija imala svoj maksimum potrebno je da uslov $a<0$ bude ispunjen stoga je konačno rešenje $a=-4.$

Započni učenje

Online časovi

46. Ispitivanje rešenja

Beleške