Kvadratna funkcija sa minimumom i dve nule

TEKST ZADATKA

Naći sve vrednosti $m\in\R$ tako da funkcija $y=(2-m)x^2+(2m-5)x+2$ ima minimum i dve različite nule.

REŠENJE ZADATKA

Kvadratna funkcija ima minimum ako je $2-m>0,$ a ima dve realne različite nule ako je $D>0.$

Iz $2-m>0$ zaključiti da $m<2.$

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=2-m, \ b=2m-5, \ c=2$

D=(2m-5)^2-4\cdot(2-m)\cdot2\\ D=4m^2-12m+9

Uvrstiti izračunati izraz u nejednačinu $D>0.$

4m^2-12m+9>0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=4, \space b=-12$ i $c=9.$

m_{1,2}=\frac{3}{2}

Nejednakost sada izgleda ovako.

(2m-3)^2>0

Izraz je uvek pozitivan osim kada je $m=\frac{3}{2}$ tada je izraz jednak nuli, pa je rešenje skup $m\in(-\infin,\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2},\infin).$

Konačno rešenje je presek svih uslova tj. $m\in(-\infin,\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2},2).$

Započni učenje

Online časovi

43. Ispitivanje rešenja

Beleške