Kvadratna nejednačina tačna za svako realno x

TEKST ZADATKA

Za koje $m$ je nejednakost $mx^2-(m+2)x+m+2>0$ tačna za svako $x\in R?$

REŠENJE ZADATKA

Da bi nejednakost bila tačna za svako realno $x,$ moraju da važe dva uslova:

$1.$ Diskriminanta je negativna (da funkcija nema realne nule, odnosno da ne seče $x-osu.$

$2.$ Koeficijent uz $x^2$ mora biti veći od nula - da bi funkcija bila cela iznad $x-ose.$

m>0

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=m, \ b=-(m+2), \ c=2$

D=(-(m+2)^2)-4m(m+2)\\ D=(m+2)^2-4m(m+2)\\ D=(m+2)(2-3m)

Potrebno je rešiti nejednačinu $D<0.$

(m+2)(2-3m)<0

Odrediti nule izraza:

m=-2, \quad m=\frac{2}{3}

-\infin, -2

-2, \frac{2}{3}

\frac{2}{3}, +\infin

m+2

-

+

+

2-3m

+

+

-

Rešenje prvog slučaja je interval $x\in(-\infin,-2)\cup(\frac{2}{3},\infin).$

Konačno rešenje je presek rešenja svih uslova tj. $x\in(\frac{2}{3},+\infin).$

37. Ispitivanje rešenja