Koreni različitog znaka i zbir kvadrata jednak 5

TEKST ZADATKA

U jednačini $mx^2+3x-(4m-6)=0$ odrediti parametar $m$ tako da jednačina ima korene $x_1$ i $x_2$ različitog znaka za koje je $x_1^2+x_2^2=5.$

REŠENJE ZADATKA

Rešenja su suprotnog znaka ako jeslobodni član kvadratne jednačine manji od nule.

c<0\\ -(4m-6)<0\\ 4m-6>0 \implies m>\frac{3}{2}

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=m, b=3$ i $c=-(4m-6).$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{4m-6}{m}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Uvrstiti određene vrednosti Vietovih formula.

5=(-\frac{3}{m})^2-2\cdot (-\frac{4m-6}{m})\\ 5-\frac{9}{m^2}-\frac{2(4m-6)}{m}=0

DOvesti razlomke na zajednički imenilac $m^2.$

\frac{5m^2-9-8m^2+12m}{m^2}=0\\ \frac{-3m^2+12m-9}{m^2}=0

Razlomak je jednak nuli ako mu je brojilac jednak nuli.

m^2-4m+3=0

Izraz je definisan za $m^2\not=0$ tj. $m\not=0.$

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=/4$ i $c=3.$

m_1=3,\quad m_2=1

Zbog uslova $m>\frac{3}{2}$ postoji samo jedno rešenje $m=3.$

38. Ispitivanje rešenja