Parametar m: jedno rešenje tri puta veće od drugog

TEKST ZADATKA

Za koje je vrednosti realnog parametra $m$ jedno rešene kvadratne jednačine $(m-3)x^2-(m+4)+3m=0$ tri puta veće od drugog?

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=m-3, b=-(m+4)$ i $c=3m.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{m+4}{m-3}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3m}{m-3}

Primeniti relaciju između $x_1$ i $x_2$ zadatu u zadatku $x_1=3x_2$ i uvrstiti je u Vietovu formulu $x_1+x_2=-\frac{b}{a}.$

3x_2+x_2=\frac{m+4}{m-3}\\ 4x_2=\frac{m+4}{m-3}\\ x_2=\frac{m+4}{4(m-3)}

Primeniti relaciju između $x_1$ i $x_2$ zadatu u zadatku $x_1=3x_2$ i uvrstiti je u Vietovu formulu $x_1x_2=\frac{c}{a}.$

3x_2x_2=\frac{3m}{m-2}\\ x_2^2=\frac{m}{m-3}

Izjednačiti izraze dobijene za $x_2$ tj. za $x_2^2.$

(\frac{m+4}{4(m-3)})^2=\frac{m}{m-3}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$ i prebaciti sve članove izraza na jednu stranu jednakosti:

\frac{m^2+8m+16}{16(m-3)^2}-\frac{m}{m-3}=0

Svesti razlomke na zajednički imenilac $16(m-3)^2.$

\frac{m^2+8m+16-16m(m-3)}{16(m-3)^2}=0

Srediti izraz.

\frac{-15m^2+56m+16}{16(m-3)^2}=0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednak nuli.

-15m^2+56m+16=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $m_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=-15, \space b=56$ i $c=16.$

m_1=-\frac{4}{5}, \quad m_2=4

Jednačina je definisana za:

m-3\not= 0 \implies m\not= 3

12. Ispitivanje rešenja