Vietove formule: kada su oba rešenja negativna

TEKST ZADATKA

Primenom Vietovih formula odrediti vrednost realnog parametra $m$ tako da rešenja jednačine $x^2-2(m-1)x-4m=0$ budu negativna.

REŠENJE ZADATKA

Da bi rešenja bila negativna tj. $x_1<0, \space x_2<0$ uslovi $D\ge0, \space (x_1+x_2)<0$ i $x_1x_2>0$ moraju biti zadovoljeni.

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=1, \ b=-2(m-1), \ c=-4m.$

D=4(m-1)^2-4 \cdot 4m \\ D=4m^2-8m+4+8m \\ D=4m^2+8m \\ D=4(m^2+1)

Kako je uslov zadatka da je $D\ge0$ onda i za dobijeni izraz važi isti uslov $4(m^2+1)\ge0.$

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-2(m-1)$ i $c=-4m.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2(m-1), \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-4m

Vratiti se na drugi uslov zadatka $x_1+x_2<0$ i uvstiti dobijeni izraz.

2(m-1)<0\\ m-1<0 \\ m<1

Vratiti se na treći uslov zadatka $x_1x_2<0$ i uvstiti dobijeni izraz.

-4m>0\\ m<0

Konačno rešenje zadatka je presek svih uslova. Jednačina ima negativna rešenja za $m<0.$

18. Ispitivanje rešenja