Zbir kubova korena: Vietove formule sa parametrom a

TEKST ZADATKA

Izračunati $x_1^3+x_2^3$ gde su $x_1$ i $x_2$ koreni jednačine $3x^2-ax+2a-1=0.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=3,\space b=-a$ i $c=2a-1.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{a}{3}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2a-1}{3}

Primeniti formulu za kub zbira $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-(3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)\\ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)

Uvrstiti određene vrednosti za Vietove formule.

x_1^3+x_2^3=(\frac{a}{3})^3-\frac{3(2a-1)}{3}\cdot\frac{a}{3}\\ x_1^3+x_2^3=\frac{a^3}{27}-\frac{a(2a-1)}{3}

Dovesti razlomke na zajednički imenilac $27.$

x_1^3+x_2^3=\frac{a^3-9a(2a-1)}{27}

Srediti izraz.

x_1^3+x_2^3=\frac{a(a^2-9(2a-1))}{27}\\ x_1^3+x_2^3=\frac{a(a^2-18a+9)}{27}

30. Ispitivanje rešenja