Vietove formule: zbir kvadrata korena jednak 26

TEKST ZADATKA

Neka su $x_1$ i $x_2$ rešenja jednačine $(5-x):(x+1)=(x-1):(x+a).$ Odrediti parametar $a$ tako da je $x_1^2+x_2^2=26.$

REŠENJE ZADATKA

Zapisati izraz u obliku razlomka.

\frac{5-x}{x+1}=\frac{x-1}{x+a}

Prebaciti razlomke na istu stranu jednakosti.

\frac{5-x}{x+1}-\frac{x-1}{x+a}=0

Dovesti razlomke na zajednički imenilac $(x+1)(x+a).$

\frac{(5-x)(x+a)-(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-a)}=0\\ \frac{5x+5a-x^2-xa-(x^2-1)}{(x+1)(x-a)}=0\\ \frac{-2x^2-x(a-5)+5a+1}{(x+1)(x+a)}=0

Razlomak je jednak nuli kada mu je delilac jednak nuli.

-2x^2-x(a-5)+5a+1=0

Izraz je definisan kada $(x+1)(x+a)\not=0$ tj. $x\not=-1$ i $x\not=-a.$

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=-1, b=-(x-5)$ i $c=5a+1.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{a-5}{2}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5a+1}{2}

Vratiti se na zadatu relaciju i primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Uvrstiti određene vrednosti za Vietove formule.

26=(-\frac{a-5}{2})^2-2\cdot(-\frac{5a+1}{2})\\ 26=\frac{(a-5)^2}{4}+(5a+1)

Primeniti formulu za kvadrat razlike $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

104=a^2-10a+25+20a+4\\ a^2+10a-75=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=10$ i $c=-75.$

a_1=5,\quad a_2=-15

31. Ispitivanje rešenja