Vietove formule: jedan koren je kvadrat drugog

TEKST ZADATKA

Odrediti $k$ tako da jedan koren jednačine $x^2-\frac{15}{4}x+k=0$ bude kvadrat drugog.

REŠENJE ZADATKA

Zapisati zadatu relaciju $x_1=x_2^2.$

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-\frac{15}{4}$ i $c=k.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{15}{4}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=k

Uvrstiti zadatu relaciju u Vietove formule.

x_2^2+x_2=\frac{15}{4},\quad x_2^3=k

Rešiti kvadratnu jednačinu.

x_2^2+x_2-\frac{15}{4}=0\\ 4x_2^2+4x_2-15=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=4, \space b=4$ i $c=-15.$

x_{21}=\frac{3}{2},\quad x_{22}=-\frac{5}{2}

Uvrstiti vrednosti za $x_2$ u formulu $k=x_2^3.$

k_1=\frac{27}{8},\quad k_2=-\frac{125}{8}

32. Ispitivanje rešenja