Vietove formule: nejednakost sa kvadratima korena

TEKST ZADATKA

Odrediti skup vrednosti parametra $m$ za koje su rešenja $x_1$ i $x_2$ jednačine $x^2-mx-4m=0$ realna, različita i za koje $x_1^2+x_2^2<x_1x_2+28.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=1, \ b=-m, \ c=-4m$

D=^2-4\cdot1\cdot(-4)\\ D=m^2-16m

Ako je $D>0$ rešenja su realna i različita.

m(m+16)>0

Skup ovog uslova je $x\in(-\infin,-16)\cup(0,\infin).$

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-m$ i $c=-4m.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-4m

Rešiti uslov zadat u zadatku.

x_1^2+x_2^2<x_1x_2+28

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

(x_1+x_2)^2-2x_1x_2<x_1x_2+28

Prebaciti sve članove na istu stranu nejednakosti.

(x_1+x_2)^2-3x_1x_2-28<0

Uvrstiti određene vrednosti za Vietove formule.

m^2+12m-28<0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=12$ i $c=-28.$

m_1=2, \quad m_2=-9

Zapisati nejednakost preko $m_1$ i $m_2.$

(m-2)(m+9)<0

Rešenje ovog uslova je skup $x\in(-9,2).$

Konačno rešenje je presek dva skupa $x\in(-\infin,-16)\cup(0,\infin)$ i $x\in(-9,2)$ tj. $x\in(0,2).$

33. Ispitivanje rešenja