Oba korena kvadratne jednačine veća od 3

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti parametra $m$ su oba korena jednačine $x^2-6mx+9m^2-2m+2=0$ veća od $3?$

REŠENJE ZADATKA

Da bi oba korena kvadratne jednačine bila veća od $3$ moraju biti uspenjena sledeća $3$ uslova:

1.\space D\ge0\\ 2.\space\text{Zbir dva korena mora biti veći od 6.}\\ 3. \space \text{Vrednost funkcije u tački} \space x=3\space \text{mora biti pozitivna.}

Za prvi slučaj odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=1, \ b=-6m, \ c=9m^2-2m+2.$

D=36m^2-4\cdot (9m^2-2m+2)\\ D=36m^2-36m^2+8m-8\\ D=8m-8

Odrediti interval prvog slučaja.

8m-8\geq0\\ 8m\geq8\\ m\geq1

Drugi slučaj.

x_1+x_2>6\\ -\frac{b}{a}>6\\

U drugom slučaju ne postoji parametar $m$ za koji je potrebno odrediti interval.

Treći slučaj zapisati na sledeći način $f(3)>0$ i izračunati izraz.

3^2-6m\cdot 3+9m^2-2m+2>0\\ 9m^2-20m+11>0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=9, \space b=-20$ i $c=11.$

m_1=1, \quad m_2=\frac{11}{9}

Interval za ovaj slučaj je $m\in(-\infin,1)\cup(\frac{11}{9},\infin).$

Konačno rešenje je presek svih intervala tj. $m>\frac{11}{9}.$

34. Ispitivanje rešenja