Kvadratna jednačina čiji su koreni p i q

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=p$ i $c=q.$

x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}, \quad x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}

Kvadrirati obe strane jednačine

9p^2=p^2-4q\\ 8p^2+4q=0 \implies q=-2a^2

Uzeti da je $x_2=q$ i srediti izraz.

q=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\\ 2q=-p-\sqrt{p^2-4q}\\ 2q+p=-\sqrt{p^2-4q}

Uzeti da je $x_1=p$ i srediti izraz.

p=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\\ 2p=-p+\sqrt{p^2-4q}\\ 3p=\sqrt{p^2-4q}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

p^2+4pq+4q^2=p^2-4q\\ 4q^2+4pq+4q=0\\ q^2+pq+q=0

Uvrstiti izraz za $q$ u jednačinu $q^2+pq+q=0.$

(-2p^2)^2+p(-2p^2)-2p^2=0\\ 4p^4-2p^3-2p^2=0\\

Izvući $p^2$ ispred zagrade i srediti izraz.

p^2(2p^2-p-1)=0

Proizvod dva broja je jednak nuli kada je jedan od tih brojeva nula.

p^2=0 \implies p=0, \space q=0\\ 2p^2-p-1=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=2, \space b=-1$ i $c=-1.$

p_2=1 \implies q_2=-2\\ p_3=-\frac{1}{2}\implies q_3=-\frac{1}{2}

Da bi jednačina imala dva korena potrebno je da uslov $D\geq0$ bude ispunjen.

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=1, \ b=p, \ c=q$

D=p^2-4q

Izvući $p^2$ ispred zagrade i srediti izraz.

p^2(2p^2-a-1)=0

Izvući $p^2$ ispred zagrade i srediti izraz.

p^2(2p^2-a-1)=0

Uvrstiti dobijeni izraz za diskriminantu.

p^2-4q\geq0

Uvrstiti izraz za $q$ u nejednačinu.

p^2+8p^2\geq0\\ 9p^2\geq0\\ p^2\geq0 \implies p\geq0

Zbog uslova zadatka konačna rešenja su $p_1=0,\space q_1=0$ i $p_2=1,\space q_2=-2.$

35. Ispitivanje rešenja