Parametar k: rešenja recipročna jedno drugom

TEKST ZADATKA

U kvadratnoj jednačini $3kx^2-(6k-1)x+k+8=0,$ odrediti $k$ tako da jedno rešenje bude recipročna vrednost drugog rešenja.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=3k, b=6k-1$ i $c=k+8.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{6k-1}{3k}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{k+8}{3k} \implies x_1=\frac{k+8}{3k}\cdot \frac{1}{x_2}

Primeniti relaciju između $x_1$ i $x_2$ zadatu u zadatku $x_1=\frac{1}{x_2}$ i uvrstiti je u sređeni izraz za Vietovu formulu $x_1+x_2=\frac{c}{a}.$

x_1=\frac{k+8}{3k}\cdot \frac{1}{x_2}\\ \frac{k+8}{3k}\cdot \frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_2}\\ \frac{k+8}{3k}=1

Srediti dobijeni izraz.

\frac{k+8}{3k}-1=0\\ \frac{k+8-3k}{3k}=0\\ \frac{-2k+8}{3k}=0\\ -2k+8=0\\ 2k=8 \implies k=4

Rešenje je definisano za $3k\not=0$ tj, $k\not=0.$

16. Ispitivanje rešenja