Vietove formule: uslov sa količnicima korena

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost parametra $a$ tako da koreni jednačine $x^2-x+a-2=0$ zadovoljavaju uslov

\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{2}x_1x_2+4=0.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-1$ i $c=a-2.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=a-2

Pomnožiti obe strane jednačine sa $2x_1x_2$ uz uslove da $x_1\not=0$ i $x_2\not=0.$

2x_1^2+2x_2^2+x_1^2x_2^2+8x_1x_2=0

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

2((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)+(x_1x_2)^2+8x_1x_2=0

Uvrstiti vrednosti za Vietove formule.

2(1-2(a-2))+(a-2)^2+8(a-2)=0

Srediti izraz.

2-4a+8+a^2-4a+4+8a-16=0\\ a^2-2=0\\ a^2=2 \implies a=\pm\sqrt{2}

23. Ispitivanje rešenja