Parametri p i q: tačno jedno realno rešenje x0

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti $p\in \R$ i $q\in\R$ jednačina $px^2-x+q=0$ ima tačno jedno realno rešenje $x=x_0$ za koje važi $2x_0=x_0^2?$

REŠENJE ZADATKA

Jednačina ima tačno jedno realno rešenje ako je ispunjen jedan od uslova:

\text{1. Koeficijent uz}\space x^2\text{ je jednak nuli, pa se jednačina svodi na linearnu.}\\ \text{2. Kvadratna jednačina ima diskriminantu jednaku nuli, pa su koreni realni i jednaki.}

U prvom slučaju jednačina onda izgleda ovako:

-x+q=0\\ x=q

Vratiti se na relaciju zadatu u zadatku.

2x_0=x_0^2\\ x_0^2-2x_0=0\\ x_0(x_0-2)=0 \implies x_0=0 \space \lor x_0=2

Ako je $x_0=0$ onda je $p=0$ i $q=0.$

Ako je $x_0=2$ onda je $p=0$ i $q=2.$

U drugom slučaju odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=p, \ b=-1, \ c=q$

D=1-4pq

Izjednačiti diskirminantu sa nulom i srediti izraz.

D=0\\ 1-4pq=0 \\ 4pq=1\\ pq=\frac{1}{4}

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=p, b=-1$ i $c=q.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}\\ 2x_0=\frac{1}{q}, \quad x_0^2=\frac{q}{p}

Uvrstiti vrednosti Vietovih formula u zadatu relaciju.

\frac{1}{p}=\frac{q}{p}\implies q=1

Uvrstiti dobijenu vrednost za $q$ u izarz $pq=\frac{1}{4}.$

p\cdot1=\frac{1}{4}\implies p=\frac{1}{4}

Rešenje drugog slučaja je $p=\frac{1}{4}$ i $q=1.$

40. Ispitivanje rešenja