795. Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Za koje $k$ jednačina $(2k-5)x^2-2(k-1)x+3=0$ ima tačno jedno realno rešenje?

REŠENJE ZADATKA

Jednačina ima tačno jedno realno rešenje ako je ispunjen jedan od uslova:

\text{1. Koeficijent uz}\space x^2\text{ je jednak nuli, pa se jednačina svodi na linearnu.}\\ \text{2. Kvadratna jednačina ima diskriminantu jednaku nuli, pa su koreni realni i jednaki.}

Prvi slučaj.

2k-5=0\\ 2k=5 \implies k=\frac{5}{2}

Odrediti diskriminantu $D=b^2-4ac ,$ gde su $a=2k-5, \ b=2(k-1), \ c=3$ u drugom slučaju.

D=4(k-1)^2-4(2k-5)\cdot 3\\ D=4k^2-8k+4-24k+60\\ D=4k^2-32k+64

Izjednačivanjem diskriminante sa nulom dobije se kvadratna jednačina $k^2-8k+16=0.$ Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1 \space b=-8$ i $c=16.$

k=4

Konačno rešenje ovog zadatka je $k=\frac{5}{2}$ ili $k=4.$

28. Ispitivanje rešenja