Zajedničko rešenje dve kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednost realnog parametra $p$ tako da jednačine $x^2+(p-8)+2(p-4)=0$ i $x^2+(2p-19)x+2(2p-3)=0$ imaju zajedničko rešenje.

REŠENJE ZADATKA

Oduzeti jednačine.

(p-8)x-(2p-19)x+2(p-4)-2(2p-3)=0

Izvući $x$ ispred zagrade.

(p-8-2p+19)x+2p-8-4p+6=0\\ (11-p)x-2p-2=0 \implies x=\frac{2p+2}{11-p}

$x=\frac{2p+2}{11-p}$ je zajedničko rešenje za obe jednačine i potrebno je uvrstiti ga uprvu jednačinu.

(\frac{2p+2}{11-p})^2+(p-8)(\frac{2p+2}{11-p})+(2p-4)=0

Pomnožiti obe strane jednakosti sa $(11-p)^2.$

(2p+2)^2+(p-8)(2p+2)(11-p)+(2p-4)(11-p)^2=0

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ i pomnožiti binome.

4p^2+8p+4-2p^3+36p^2-138p-176+2p^3-52p^2+418p-968=0

Srediti izraz.

-12p^2+288p-1140=0\\ p^2-24p+95=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ gde je $a=1, \space b=-24$ i $c=95.$

p_1=19, \quad p_2=5

Rešenja su definisana uz $(11-p)^2\not=0$ tj. $11-p\not=0\implies p\not=11.$

26. Ispitivanje rešenja